对于幂函数f(x)等于x的n次方,如果它的指数n为偶数,则f(x)为偶函数;如果指数n为奇数,则f(x)为奇函数。那么奇偶性和幂函数有什么联系呢?
实际上,奇偶性名称就来自于幂函数的指数,指数为奇数的幂函数就是奇函数,指数为偶数的幂函数就是偶函数。以前北师大版教材的必修1把奇偶性放在幂函数一节,就有这方面的考虑。
反过来,同学们可以从命名中发现幂函数的图像对称性和变化规律。实际上,只要掌握了奇偶性的规律,我们也可以自己构造奇函数或偶函数。我们有如下结论:
一、结论1
设f(x)为定义域为R的任意函数,则可构造函数g(x)=1/2[f(x)-f(-x)]和函数h(x)=1/2[f(x) f(-x)],则g(x)为奇函数,h(x)为偶函数。
(一)证明
由f(x)定义域为R,容易得到g(x)和h(x)的定义域也均为R。
则g(-x)=1/2[f(-x)-f(x)]= -1/2[f(x)-f(-x)]=-g(x)
h(-x)=1/2[f(-x) f(x)]=h(x)
根据定义可得,g(x)为奇函数,h(x)为偶函数。
利用这个结论,可以迅速解决一些奇偶性问题。
(二)例题
例1:a为常数,判断下列函数的奇偶性。
(1) f(x)=|x+a|-|x-a|
(2) g(x)=|x+a|+|x-a|
解:设函数h(x) = |x+a|,则h(-x) = |-x+a|=|x-a|,
则f(x) =|x+a|-|x-a|=h(x) -h(-x),
g(x) =|x+a|+|x-a|=h(x) +h(-x)
根据上述结论,f(x)为奇函数,g(x)为偶函数。
说明:f(x)=|x+a|-|x-a|和g(x)=|x+a|+|x-a|是典型的绝对值型奇函数和偶函数。例1是利用任意一个函数构造出一个奇函数和一个偶函数,反过来,我们有第二个结论。
二、结论2
任意一个定义在R上的函数都可以写成唯一一个奇函数和一个偶函数的和。
(一)证明
设函数f(x)定义域为R,且f(x)=g(x) h(x),且g(x)为奇函数,h(x)为偶函数。
则g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x),
则f(-x)=g(-x) h(-x)=-g(x) h(x)①
又f(x)=g(x) h(x)②
由①②解得g(x)=1/2[f(x)-f(-x)],h(x)=1/2[f(x) f(-x)]。
故任意一个定义在R上的函数都可以写成唯一一个奇函数和一个偶函数的和。
(二)例题
说明:本题解法(1)看起来更简单。我们换一下条件,如果求f(2)+g(1)的值,那么此时解法(1)的方法就失效了,但是利用解法(2)仍然可以迅速求出结果,得到f(2)=16+1=17,g(1)=-1,f(2)+g(1)=16。
更进一步,对于含参数的问题,解法(2)也有奇效。我们看下面一个例子。
说明:奇函数+常数(c)是一类非常有趣的函数,虽然此函数非奇非偶,既不关于原点对称,也不关于y轴对称,但是根据上加下减原则,函数图像上、下移动了,对称中心由(0,0)变为,(0,c),则由对称原理,我们有第三个论:
三、结论3
定义在R上的函数f (x)=g(x)+c,g(x)是奇函数,则有:f(x)+f(-x)=2c,图象关于(0,c)对称。
(一)例题
总结:任一个定义域为R的函数都可以构成成唯一一对奇函数和偶函数的和。那么,如果f(x)本身就是奇函数或偶函数,怎么分解成一个奇函数和一个偶函数的形式呢?
实际上,有一个函数f(x)=0(x∈R),既是奇函数也是偶函数。则对于奇函数g(x)来说,可以构造出g(x)= g(x) 0,满足一个奇函数和一个偶函数之和的形式;同理,对于偶函数h(x),可以构造出h(x)=h(x) 0,也满足一个奇函数和一个偶函数之和的形式。