公租房是政府为了解决低收入家庭住房问题而建设并提供的保障性住房资源。在中国，公租房的租赁使用受到严格的管理和监管，其目的是确保有需要的家庭能够获得合理的住房条件，维护社会的公共秩序和公共利益。因此，公租房的性质决定了其租赁使用必须遵守相关法律法规以及城市管理秩序的规定。
在这一案例中，承租人杜某与赵某签订了一份房屋租赁合同，约定将赵某名下的一处房产租给杜某使用。然而，在合同履行过程中，杜某被相关部门告知涉案房屋实际上是公租房，根据国家政策，公租房是不允许被擅自转租的。这一事实使得合同的合法性受到了质疑。
根据民法典第153条的规定，任何违反法律、行政法规的强制性规定的民事法律行为都被视为无效。此外，违背公序良俗的民事法律行为同样被认定为无效。在这个案例中，杜某与赵某签订的租赁合同违反了国家对公租房管理秩序的强制性规定，也违反了城市管理秩序，因为这种行为可能导致本应分配给有需求家庭的公租房资源被滥用，损害了社会的公共利益。因此，根据法律规定，这份租赁合同被判定为无效合同。
综上所述，杜某与赵某关于这个公租房的租赁合同是无效的。这一判决是为了维护公共秩序和公共利益，确保有需要的家庭能够获得适当的住房资源，同时也是对合同法律和道德原则的遵守的体现。
