费马大定理是指对于任何大于2的正整数n，方程 x^n y^n = z^n 没有正整数解。这个问题一直是数学界的一个难题，直到20世纪才被完整证明。
以下是费马大定理的证明概述：
首先，我们可以假设方程 x^n y^n = z^n 有正整数解。我们可以将其中的三个数x、y、z表示为互质的整数，因为它们的公因数可以约掉。然后，我们可以假设n是一个奇素数，这是因为当n是偶数时，我们可以将方程 x^n y^n = z^n 转化为方程 (x^2)^(n/2) (y^2)^(n/2) = (z^2)^(n/2)，这样就可以将n减半，转化为奇素数的情况。
接下来，我们可以使用模运算和数学归纳法来证明费马大定理。我们可以假设x、y、z是最小的正整数解，即它们的值最小。然后，我们可以使用模运算来推导出一些结论：
1. 如果n是奇数，那么x、y、z中至少有一个是偶数。这是因为如果x、y、z都是奇数，那么它们的立方也都是奇数，因此x^n y^n = z^n是偶数，与n是奇数矛盾。
2. 如果n是奇数，那么x、y、z两两互质。这是因为如果x和y有一个公因数d，那么z也必然是d的倍数，与x、y、z互质矛盾。
3. 如果n是奇数，那么x、y、z中至少有两个是互质的。这是因为如果x、y、z都不互质，那么它们的立方也都不互质，因此x^n y^n = z^n也不可能互质，与x、y、z互质矛盾。
接下来，我们可以使用数学归纳法来证明费马大定理。假设费马大定理对于n=k成立，即方程 x^k y^k = z^k 没有正整数解。然后，我们可以考虑n=k 2的情况，即方程 x^(k 2) y^(k 2) = z^(k 2) 没有正整数解。
我们可以将方程 x^(k 2) y^(k 2) = z^(k 2) 转化为 (x^(k 2) y^(k 2))^(1/(k 2)) = z，然后使用二项式定理展开得到：
x y/k*(x^k) ... = z/k*(x^k) ...
我们可以将等式两边都除以x^k，得到：
1 y/k*(x/k)^k ... = z/k
由于k是奇数，所以x和k互质。因此，我们可以得到以下结论：
1. y/k*(x/k)^k ... 是一个整数。
2. z/k > 1。
根据归纳假设，x、y、z中至少有一个是偶数，因此x/k和y/k都是整数。因此，我们可以得到以下结论：
1. x/k、y/k和z/k两两互质。
2. y/k*(x/k)^k ... 是一个奇数。
根据以上结论，我们可以得到以下结论：
1. x/k、y/k和z/k中至少有两个是互质的。
2. y/k*(x/k)^k ... = z/k。
这与归纳假设矛盾，因此我们可以得出结论：对于任何大于2的正整数n，方程 x^n y^n = z^n 没有正整数解。费马大定理是指对于任何大于2的正整数n，方程 x^n y^n = z^n 没有正整数解。这个问题一直是数学界的一个难题，直到20世纪才被完整证明。
以下是费马大定理的证明概述：
首先，我们可以假设方程 x^n y^n = z^n 有正整数解。我们可以将其中的三个数x、y、z表示为互质的整数，因为它们的公因数可以约掉。然后，我们可以假设n是一个奇素数，这是因为当n是偶数时，我们可以将方程 x^n y^n = z^n 转化为方程 (x^2)^(n/2) (y^2)^(n/2) = (z^2)^(n/2)，这样就可以将n减半，转化为奇素数的情况。
接下来，我们可以使用模运算和数学归纳法来证明费马大定理。我们可以假设x、y、z是最小的正整数解，即它们的值最小。然后，我们可以使用模运算来推导出一些结论：
1. 如果n是奇数，那么x、y、z中至少有一个是偶数。这是因为如果x、y、z都是奇数，那么它们的立方也都是奇数，因此x^n y^n = z^n是偶数，与n是奇数矛盾。
2. 如果n是奇数，那么x、y、z两两互质。这是因为如果x和y有一个公因数d，那么z也必然是d的倍数，与x、y、z互质矛盾。
3. 如果n是奇数，那么x、y、z中至少有两个是互质的。这是因为如果x、y、z都不互质，那么它们的立方也都不互质，因此x^n y^n = z^n也不可能互质，与x、y、z互质矛盾。
接下来，我们可以使用数学归纳法来证明费马大定理。假设费马大定理对于n=k成立，即方程 x^k y^k = z^k 没有正整数解。然后，我们可以考虑n=k 2的情况，即方程 x^(k 2) y^(k 2) = z^(k 2) 没有正整数解。
我们可以将方程 x^(k 2) y^(k 2) = z^(k 2) 转化为 (x^(k 2) y^(k 2))^(1/(k 2)) = z，然后使用二项式定理展开得到：
x y/k*(x^k) ... = z/k*(x^k) ...
我们可以将等式两边都除以x^k，得到：
1 y/k*(x/k)^k ... = z/k
由于k是奇数，所以x和k互质。因此，我们可以得到以下结论：
1. y/k*(x/k)^k ... 是一个整数。
2. z/k > 1。
根据归纳假设，x、y、z中至少有一个是偶数，因此x/k和y/k都是整数。因此，我们可以得到以下结论：
1. x/k、y/k和z/k两两互质。
2. y/k*(x/k)^k ... 是一个奇数。
根据以上结论，我们可以得到以下结论：
1. x/k、y/k和z/k中至少有两个是互质的。
2. y/k*(x/k)^k ... = z/k。
这与归纳假设矛盾，因此我们可以得出结论：对于任何大于2的正整数n，方程 x^n y^n = z^n 没有正整数解。
