- M. C. Escher 《极限圆IV（天堂与地狱）》，1960年。
AdS空间可以被想象成由双曲或庞加莱圆盘堆叠成的圆柱：
庞加莱圆盘是双曲面（一种二维表面）的一种映射。上面的红色和白色形状都是双曲空间中的三角形，它们都被假设为相同的大小。之所以它们越接近外边缘就越变小，是一种数学上的投影技巧，很像我们如何将球形地球投影到平面地图上，或者将天空的内部球面投影到星图上。上面地图的边缘实际上是无限远离中心的。因此，尽管外观上不同，在这个空间中，没有特殊的点或方向，很像球体。
这些双曲面堆叠成圆柱时，形成了AdS空间。
注意，这个圆柱就像将许多地球地图堆叠在一起，以代表不同时间点上的地球。用这种方式来看待，比如，大陆漂移的历史是完全合理的，但你会看到扭曲，你将被迫，比如，选择一个中心和坐标系统，就像下面这张图片所示：
我们关心AdS空间的原因是在其上的引力理论与其边界上的共形场理论（CFTs）是对偶的。
共形场理论是一种特殊的理论，具有尺度不变性，而尺度不变性理论对于定义量子场理论至关重要。
量子场理论并非都是CFTs，但所有定义良好的理论，意味着我们可以使用它们进行一般物理预测，在两个重要的尺度上变成CFTs：
- 一个非常微小的尺度
- 和一个非常大的尺度。
这些被称为紫外（UV）和红外（IR）固定点。
这意味着所有定义良好的QFTs都是从在最小尺度上是CFT的理论开始，那里它们是尺度不变的，一直运行到在最大尺度上也是尺度不变的CFT。以量子色动力学（QCD）为例，它是对组成原子核的夸克和强力的研究。在最小尺度上，夸克几乎是自由的，意味着它们之间的相互作用强度是无限小的。它们不相互作用的理论是一个CFT，因此QCD在最小尺度上有一个固定点。它还有一个IR固定点（称为Wilson-Fisher固定点），这不是非相互作用的，但是是相互作用强度停止改变的点。
因为理论在这两个有限点变得尺度不变，我们不必担心在这些尺度之外会发生什么，因为关于理论的任何细节都无法通过这些“固定点”传递。这基本上就是固定点的含义。
固定点基本上是一个系统停止的地方。在量子场理论的情况下，这意味着耦合，粒子和场相互作用的强度，停止改变。
为了预测场和粒子的行为，我们需要了解在我们探测的尺度上，更大和更小尺度的行为如何影响行为。如果没有固定点，那么我们将在所有尺度上有效地受到无限的影响。为了处理无限的影响，我们将不得不进行无限的测量。
广义相对论因没有紫外（UV）固定点而出名。实际上，它确实有一个红外（IR）固定点，因为GR在大尺度下只是成为一个非相互作用的线性波理论，而非相互作用理论是尺度不变的。在最小尺度上，如普朗克长度，GR只是产生微小的黑洞。
然而，事实证明，在AdS空间中，GR在小尺度上的表现要好得多。它仍然产生黑洞，但它们是AdS黑洞，其能量尺度的行为像CFTs。这是AdS/CFT对应关系的一个后果。
AdS/CFT是一个通用理论，展示了AdS空间上的引力理论如何与该AdS空间边界（上述圆柱的“墙”）上的CFTs是对偶的。
因为CFTs是紫外（UV）固定点，它们本身是UV完备的，因此，与它们对偶的任何理论也是UV完备的。
这是否意味着量子引力实际上已经被解决了？
远非如此。
问题1
首先，据我们所知，我们不生活在一个（渐近地）AdS空间中。我们生活在一个（渐近地）deSitter（dS）空间，一个由宇宙常数给出的恒定正曲率空间。目前没有已知的CFTs与dS空间的引力理论之间的对偶性。
问题2
第二个问题是，我们不知道哪个CFT实际上对应于正确的引力理论。众所周知，某种版本的弦理论（IIB）对应于一个确定的CFT（一个超对称N=4杨-米尔斯理论，我不打算深入讨论）。AdS/CFT的大多数1000篇论文探索了弦理论的某些方面。
必须处理的问题之一是，对应关系定义了量子CFT和半经典引力理论之间的关系。通常，你会将这读作“离壳”和“在壳”理论之间的对应。离壳理论是完全量子化的，拥有虚拟粒子，而在壳理论则没有，因此必须被认为是半经典的。
弦理论可以解决这个问题，因为我们可以将量子CFT与弦理论散射矩阵（S-矩阵）的特定元素相连接。S-矩阵描述了入射粒子如何相互作用（即，散射）并变成出射粒子。每个边界状态对应于S-矩阵的一个元素，所以如果我们理解了所有的边界状态，我们就可以理解整个量子图景。然而，与弦理论不同，GR加上粒子物理的标准模型没有完整的量子描述，因此我们无法定义其S-矩阵。
为了构建一个量子CFT和量子引力理论之间的关系，需要为引力理论也有一个UV完备性，这样你才能构建S-矩阵。由于弦理论具有这种完备性，因此主要用于此目的。为了使用CFT进行引力预测，反之亦然，我们必须知道确切的对应关系，而不仅仅是存在对应关系。
问题3
第三个问题是，AdS/CFT并没有解释空间和时间从何而来。它仅仅声明在空间和时间上的引力与边界空间和时间上的CFTs之间存在对偶性。这至少在哲学上是不令人满意的，这促使一些人发展了替代的引力理论，如环量子引力和旋转网络。
问题1的解决方案
我们不生活在AdS空间的第一个问题，可以通过几种方式解决。一些物理学家（如Andrew Strominger）正在努力将对应关系扩展到dS空间（到目前为止已取得一些进展但未成功）。DeSitter空间缺乏AdS空间的某些良好属性，我认为，从根本上讲，对应关系将会失败。
我认为更好的方法是假设我们确实生活在一个五维的AdS时空中。事实上，与AdS/CFT相关的许多成功都是针对五维的AdS5。可以将AdS5像面包一样切成四维deSitter（dS4）切片，这将对应于我们的四维时空与宇宙常数。这些切片将是圆柱体上面的同心环，就像一个圆柱形的洋葱。
如果这个额外的维度对我们来说是不可见的，如果它表现得像时间，并且我们的dS4时空可能正在远离它起始的CFT发展，我们可能不会注意到这些变化，因为我们的历史只是在进化，我们也随之变化，或者因为不同的切片以一种更复杂的方式结合在一起，创造了我们的经典宇宙。
问题2的解决方案
第二个问题很难解决，因为没有数据告诉我们真正的引力理论是什么，或者真正的CFT是什么。弦理论仍然可能是解决方案，但到目前为止还没有证明任何关于它的东西。也有可能引力理论从根本上是半经典的，意味着它不是一个量子理论，不需要UV完备。相反，宇宙之所以看起来是量子的，是因为时空在第五维度中演化。
这实际上与量子物理学的多重宇宙方法相同，但稍微有些限制。每个dS4切片是多个世界中不同可能世界的代表。（你可以称这为量子物理学的多切片解释。）然而，并不是每个可能的现实都有对应的世界，只有那些实际上是AdS5空间的切片的才有。高度不可能的切片将不会存在。
因此，理论的UV完备是通过其与CFT的对应关系实现的，这可以被认为是dS4切片演化的初始条件。
这种方法很吸引人，但有一个缺点，那就是它暗示了一个经典的AdS5空间，我们现在必须解释量子力学从何而来。这个空间上的理论是如何实际量子化的？我不是指我们如何在数学上做到这一点。我的意思是，如果我们生活在一个半经典的时空中，为什么我们必须在我们的理论中发明像虚拟粒子、波粒二象性和量子涨落这样的概念？
我偏爱的一个选项是，AdS5空间实际上包含一个传播波，而不是一组经典演化的切片。在每个切片中，波仍然是半经典的，但是，如果你将所有切片上的所有波加总起来，会得到一个完整的薛定谔型波函数。这样的波自然包含虚拟粒子、涨落和波粒二象性。经典现实，我们所知的现实，只有当许多略有不同的波通过所谓的构造性干涉过程一起凝聚时，才会显现出来。这种构造性干涉仍然可以产生多个世界，但在经典层面上，它们会因为破坏性干涉而彼此有效隔离，而不是彼此演化。
不过，为了定义波，你必须在一个AdS5时空上定义它，包括必须定义引力场为一个最简单的，自旋为2的引力子场在该时空中传播，这有点不雅观。
问题3的解决方案
这引出了第三个问题：那个时空从何而来？
乍看之下，这是对弦理论的一种常见批评，似乎我们试图通过提出引力在背景时空中运作来破坏爱因斯坦的美丽理论。然而，事实证明，AdS/CFT并不要求这样做。
相反，我们可以将AdS/CFT颠倒过来说，根本没有AdS空间，而只是对量子理论的定义，可以被解释为在AdS空间上。然而，量子理论本身代表时空，而不是定义在其上。
为了让一个理论有一个背景时空，我们必须独立于理论固定那个时空。我们必须选择它并固定它。但在这里没有这样做，根本没有固定时空。
相反，有一个波，我们用它来定义引力和时空。那个波是在时空切片上的一个函数，但我们不知道那些切片是什么！我们不能像在固定背景理论中那样固定它们。另一方面，我们有一个波在AdS空间上的假设，仅仅是反映了波在切片缩放下的行为方式。这是AdS时空表示的美妙之处，也是它有效的原因。第五维度仅仅是缩放维度，CFT所在的边界对应于无限缩放。因此，量子引力波函数是真实的，而AdS仅仅是表示波在缩放下行为方式的一种方式。实际上，根本没有背景时空。
结论
这些问题远非解决量子引力完整理论需要解决的唯一问题。尽管重点关注弦理论，AdS/CFT对应关系也可以应用于更一般的量子引力理论，正如我们所见。通过这样做，我们可能不仅能深入了解引力，还能了解量子理论本身的起源。
