先从最简单的情形开始考虑吧。
等质量混合，忽略热容变化
中学热学公式：
两边消去cm，显然有
。
等体积混合，忽略热容变化
众所周知水的密度与温度有关，查表可知，100 kPa 下 0 °C 与 100 °C 时水的密度分别为 0.99984 和 0.95840 g/cm³[1]。因此
等体积混合，考虑热容变化
水的热容也并非常数。和上文密度在同一张表[1]里面，也可以找到（定压）热容的数据。考虑到实际的物理过程，这里使用定压热容也会比定体热容合适一点。
因为热容不再是常数，吸放热公式需改为积分形式：
带入数据数值求解一番：
(* 构建插值公式 *)
density = Interpolation[Transpose @ {
Range[0, 100, 10],
{0.99984, 0.99970, 0.99821, 0.99565, 0.99222, 0.98803, 0.98320, 0.97778, 0.97182, 0.96535, 0.95840}
}];
heatCapacity = Interpolation[Transpose @ {
Range[0, 100, 10],
{4.2176, 4.1921, 4.1818, 4.1784, 4.1785, 4.1806, 4.1843, 4.1895, 4.1963, 4.2050, 4.2159}
}];
(* 质量（密度）之比 *)
m1$m2 = density[0] / density[100];
(* 数值求解 *)
sol = FindRoot[
m1$m2 * Integrate[heatCapacity[T], {T, 0, Tf}] ==
- Integrate[heatCapacity[T], {T, 100, Tf}], {Tf, 50}]
得到最终温度为 48.9946 °C。此时的体积：
2 / density[Tf] /. sol
结果为 2.0243 L。
注
我们这里的计算仅考虑热力学因素，动力学因素（混合过程中对流等过程）过于复杂，没有办法从基础的物理学公式得到，因此不做考虑。如何选择近似、选择多大程度的近似，始终是物理学中的一个重要话题。
