这里的μ(n)叫做莫比乌斯函数（Möbius function）。没错，就是莫比乌斯带的那个莫比乌斯（August Ferdinand Möbius，1790 - 1868），这又是一位伟大的德国数学家。
莫比乌斯带
莫比乌斯函数的取值只有三种可能：0和正负1。如果n可以被任何一个质数的平方整除，也就是说在它的质因数分解中有一个质因数出现了二次或更高次方，那么μ(n) = 0。如果n不能被任何一个质数的平方整除，也就是说n的任何一个质因数都只出现一次，那么我们来数质因数的个数。假如质因数有偶数个，那么μ(n) = 1。在这里还包括了n = 1的情况，因为它没有质因数，0算作偶数，所以μ(1) = 1。而假如质因数有奇数个，那么μ(n) = -1。
由此可见，μ(1) = 1，μ(2) = -1，μ(3)= -1，μ(4) = 0，μ(5) = -1，μ(6) = 1等等。这正是上面的展开式中用到的前几项。
很显然，J(x)是一个增函数。在上面的展开式中，随着n的增加，x的1/n次方变得越来越小，相应的第n项也变得越来越小。因此，对π(x)贡献最大的就是第一项，J(x)。而对J(x)贡献最大的来自哪一项呢？这就涉及到黎曼ζ函数非平凡零点的位置了。
一个非平凡零点ρ的实部和虚部经常被记为σ和t，即ρ = σ it。黎曼很快就证明了，ρ不可能出现在σ > 1或者σ < 0的地方。也就是说，非平凡零点只可能出现在0 ≤ σ ≤ 1的区域里。在复平面上，这对应于一条宽度为1的竖直条带，人们把它称为临界带（critical strip）。
然后，根据黎曼ζ函数的形式，很容易发现零点对于实轴是对称的。也就是说，如果σ it是一个零点，那么它的共轭复数σ - it也是一个零点。因此，非平凡零点总是上下成对出现的。当我们说第n个非平凡零点的时候，指的总是第n个虚部为正数的非平凡零点，而虚部为负数的那些自动地就知道了。
再然后，根据黎曼的函数方程，即ζ(s)与ζ(1 – s)之间的联系，又很容易发现，非平凡零点对于σ = 1/2这条竖线是对称的。也就是说，如果σ it是一个零点，那么1 - σ it也是一个零点。
黎曼计算了几个非平凡零点的位置，发现它们的实部都等于1/2。例如第一、二、三个非平凡零点，实部都等于1/2，而虚部分别约等于14.1347、21.0220和25.0109。然后，他就做出了一个惊天动地的猜想：
黎曼ζ函数所有的非平凡零点，实部都等于1/2！
这就是黎曼猜想，数学中最大的未解之谜之一。
我们把σ = 1/2的这条竖线称为临界线（critical line），也就是临界带的中心线。前面我们已经知道了，所有的非平凡零点都在临界带里。但黎曼猜想却大大地加强了这个结论，它说的是：所有的非平凡零点都在临界线上！
临界线与临界带
这是一个非常令人惊讶的结论。假如非平凡零点的实部是在0到1之间随机取值，那么它刚好取到1/2的概率应该等于0。而现在黎曼却认为这个概率是100%！这件事如果是真的，就说明它一点都不随机，在这背后肯定有深刻的原因。
黎曼猜想到底对不对呢？目前还没有被普遍接受的证明或证伪。但数值计算的结果，已经为这个猜想提供了强有力的支持。
到目前为止，人们已经计算了十万亿个非平凡零点。然后你猜怎么着？这十万亿个非平凡零点都整齐划一地躺在临界线上。十万亿！因此，绝大多数数学家都相信黎曼猜想是正确的。
黎曼猜想有什么用呢？我们可以举一个容易理解、也意义重大的例子，这是一个在探索黎曼猜想的过程中得到的中间结果。
来问你一个问题：在1到10的100次方的范围内，大约有多少个质数？
数学王子高斯小时候就研究过质数分布的问题。怎么研究呢？每当他有空的时候，就挑出几个长度为1000的自然数区间，算出这些区间中的质数个数。你看，这就是高斯的消遣！
高斯
显然，随着数字的增大，质数一般而言会变得越来越稀疏。但具体是怎么个稀疏法呢？在做了大量的计算和比较之后，高斯发现质数分布的密度大约是对数函数的倒数，也就是说，在x附近的一个数是质数的概率大约是1/lnx。你看，数学家的消遣能够结出什么样的果实！后来，法国数学家勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752 - 1833）也得到了同样的结果。
