根据一张湖上落日的照片，普林斯频大学范德北教授（Robert J. Vanderbei）证明了地球是圆的，并且给出了地球的半径。
撰文 | 姬扬（中国科学院半导体研究所）、高国强（哈尔滨工业大学（威海））
知道某件东西可以做出来，就是最大的提示。只要知道某件东西可以做出来，即使不知道它到底是怎么做的，很多人就可以把它做出来。在科学发展的历史上，这样的事情屡见不鲜。
比如，伽利略发明望远镜。其实，伽利略并不是发明望远镜的第一人。1609年5月， 伽利略偶然听说，荷兰有人发明了一种“幻镜”，能够看到远处的风景。他没有参观或购买这种“幻镜”，而是自己动手，用了不到 3 个月的时间，仿造了两架仪器，并用它仰视星空。他观测到了月球的高地和环形山投下的阴影，发现了太阳黑子，还发现了木星的4个最大的卫星。借助于望远镜，伽利略还先后发现了土星光环、太阳的自转、金星和水星的盈亏现象、月球的周日和周月天平动，以及银河是由无数恒星组成，等等。
下面这个例子发生在现代。
2008年7月5日，在密执安湖湖边，普林斯顿大学的范德北教授（Robert J. Vanderbei）拍摄了一张夕阳照片，太阳即将落入地平线以下，在湖面上留下了倒影。范德北教授认识到，利用这张照片，再加上一些中学的物理和数学知识，就可以证明地球是圆的，还可以得到地球的半径。
图1 美国密执安湖上的夕阳。普林斯顿大学的范德北教授在2008年7月5日拍摄。
01
基本知识
这里需要的物理知识是：光沿直线传播；光被镜子反射的时候，入射角等于反射角。
这里需要的数学知识是：勾股定理，两个直角边的平方和等于斜边的平方；三角形的正弦定理，即三角形的边长与对角的正弦成正比。
要点在这里：水面就像镜子一样是平的，可以反射太阳光。但是，镜子或者水面的“平”是局部的平，而地球表面是弯曲的，你和我站在两个不同的地方，你的“平”在我这里就是“斜”了。对于平行入射的太阳光来说，不同地方的水面相对于太阳光的倾角是不同的。
这个分析很直接，但是有些繁琐。下面我们把分析过程详细地写出来，让《中学生数理化（初中版）》的读者也能懂。我们建议读者先试着自己推导，如果遇到困难，再回来看我们的解释。我们当初也是只知道结论，就自己推导出来了。这个问题的难度不在于推导，而在于认识到，这张图片包含了结论所需的全部信息。
02
模型和推导
我们分析的示意图（图2）跟范德北教授的类似，只是为了详细说明，用一些新的符号做了标注，分析的过程也略有不同。具体说明如下:
