3．问题探究：
（一）新知学习：
圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．
（二）问题解决：
已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是弧BC上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．
（1）若直径AB⊥CD，对于弧BC上任意一点P（不与B、C重合） （如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；
（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中，证明MN的长为定值，并求其定值；
（3）若直径AB与CD相交成120°角．
①当点P运动到弧BC的中点P1时（如图二），求MN的长；
②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．
（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．
【解析】：（1）如图一，
∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴∠PMO ∠PNO＝180°，
∴四边形PMON内接于圆，直径OP＝2；
（2）如图一，∵AB⊥OC，即∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，∴MN＝OP＝2，
∴MN的长为定值，该定值为2；
（3）①如图二，∵P1是弧BC的中点，∠BOC＝120°
∴∠COP1＝∠BOP1＝60°，∠MP1N＝60°．
∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M＝P1N，
∴△P1MN是等边三角形，∴MN＝P1M．
∵P1M＝OP1•sin∠MOP1＝2×sin60°＝√3，∴MN＝√3；
②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，
交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，
则有∠QMN＝90°，∠MQN＝∠MPN＝60°，
在Rt△QMN中，sin∠MQN＝MN/QN，
∴MN＝QN•sin∠MQN，
∴MN＝OP•sin∠MQN＝2×sin60°＝2×√3/2＝√3，
∴MN是定值．
（4）由（3）②得MN＝OP•sin∠MQN＝2sin∠MQN．
当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN＝180°﹣90°＝90°，MN取得最大值2．
