设M是一个圆的弦PQ的中点，通过它可以画出另外两个弦AB和CD;AD与PQ相交于X点, BC与PQ相交于Y点，证明M也是XY的中点。
证明1：我们从X点做AB的垂直线段x1, 做CD的垂直线段x2；同时从Y点做AB的垂直线段y1, 做CD的垂直线段y2, l令MP=MQ=a， MX=x, MY=y.
在上面的图形中，有多对直角三角形相似：
三角形s 相似比
MSX和MVY x/y = x1/y1
MXT和MYU x/y = x2/y2
AXS和UCY x1/y2= AX/CY
DXT和 BYV x2/y1= XD/YB
根据上面的等式有：
x²/y² = x1/y1· x2/y2
= x1/y2· x2/y1
=AX/CY·XD/YB
= AX·XD/ (CY·YB)
= PX·XQ/ (PY·YQ.) (这一步是圆内接四边形对角线的性质，对角线的交点分割成的各自对角线的两部分乘积相等，利用相似三角形即可证明)
将PX=a-x, XQ=a x, PY=a y, YQ=a-y带入：
x²/y² = (a - x)(a x)/ (a - y)(a y) = (a² - x²)/(a² - y²)
将等式化简后：
a²x²=/a²y²
所以x=y
证明2：为方便起见，请按照下图中的角度来表示。设x = XM, a = PM。在证明1中，我们已经说明了：
AX·XD= PX·XQ
= a² - x².
在三角形DXM中，根据正弦定理：
DX= x·sin(α)/sin(180° - (α β γ))
= x·sin(α)/sin(α β γ).
在三角形AXM中：
AX = x·sin(β)/sin(γ),
将上面两个等式相乘：
AX·DX = x²·sin(α)·sin(β)/sin(γ)·sin(α β γ) = a² - x².
根据此等式可得出：
x² = a²·sin(γ)·sin(α β γ))/(sin(α)·sin(β) sin(γ)·sin(α β γ)).
可以看到等式的右侧对于α和β是对称的，如果对于y=MY做同样的运算，我们会得到与右侧相同的等式，所以
x=y
