相似三角形对应边比例关系,相似三角形三边成比例证明过程

这一讲，我们继续《几何原本》第6卷“相似图形”中命题4的学习。

该命题证明了相似三角形对应边成比例。

已知ABC和DCE为各角对应相等的三角形，设角ABC等于角DCE、角BAC等于角CDE，角ACB等于角CED。

目标:证明在三角形ABC和三角形DCE中，夹等角的边成比例，且等角所对的边是对应边。

证明:

1、将BC、CE置于同一直线上。因为角ABC与角ACB之和小于两直角【第1卷 命题17】，角ACB等于角DEC，所以角ABC与角DEC之和小于两直角，因此，BA与ED 的延长线可以相交【公设5】，将二者延长交于F点。

说明:该步骤运用了第1卷命题17的结论，命题17用现代的数学语言表述如下:

在任意三角形中，任何两角之和小于两直角和。

2、因为角DCE等于角ABC，所以BF平行于CD。【第1卷 命题28】

3、又因为角 ACB 等于角DEC，所以AC平行于FE。【第1卷 命题28】

4、因此FACD为平行四边形，所以FA等于DC，AC等于FD。【第1卷 命题34】

5、因为AC平行于三角形 FBE的一边FE，所以BA比AF等于BC比CE。【第6卷 命题2】

6、因为AF等于 CD，所以BA比CD等于BC比CE，由更比例可得，AB比BC等于DC比CE。【第5卷 命题16】

说明:该步骤运用了第5卷命题16的结论，命题16用现代的数学语言表述如下:

如果a/b=c/d，那么a/c=b/d

7、又因为CD平行于BF，因此BC比CE等于FD比DE。【第6卷 命题2】

8、因为FD等于AC，因此BC比CE等于AC比DE，由更比例可得， BC比CA等于CE比ED。【第5卷 命题16】

9、因为已经证明了，AB比BC等于 DC比CE，BC比CA等于CE比ED，所以通过首末比可得，BA比AC等于CD比DE。【第5卷 命题22】

说明:该步骤运用了第5卷命题22的结论，命题22用现代的数学语言表述如下:

如果有a、b、c与d、e、f两组量，且满足a/b=d/e，b/c=e/f，那么a/c=d/f。

10、综上，在各角对应相等的三角形中，夹等角的边成比例，且等角的对边为相对应的边。

好了，这一讲就到这里了。

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