数学竞赛中，常常涉及质数问题，而对于质数问题，往往隐藏着质数2，一旦发现了2，问题便迎刃而解．质数2究竟有哪些特征和性质呢？首先，质数2是最小的质数，又是质数中唯一的偶数，它有以下的简单的性质：
1．若两个（或偶数个）质数的和、差为奇数，则其中必有一个质数是2；
2．若三个（或奇数个）质数的和、差为偶数，则其中必有一个质数是2；
3．若几个质数的积为偶数，则其中必有一个质数是2；
4．大于2的质数都是奇质数．
利用这些简单的性质可以解决竞赛中许多有关质数的问题．请看：
例1（2001年江苏省初中数学竞赛题）已知a是质数，b是奇数，且a^2＋b＝2001，则a＋b＝＿＿＿．
分析与解：因为a^2＋b＝2001为奇数，
所以a^2与b必为一奇一偶，
因为b为奇数，所以a^2是偶数，
因为a为质数，所以a＝2，
所以b＝1997，
所以a＋b＝1999．
例2（2013"希望杯"初一第2试）若a，b，c都是质数，其中a最小，且a＋b＋c＝44，ab＋3＝c，则ab＋c＝ ．
分析与解：因为a＋b＋c＝44为奇数，由性质2，知a、b、c中有一个数是质数2，
因为a最小，所以a＝2，
代入a＋b＋c＝44，ab＋3＝c，得
b＋c＝42，2b＋3＝c，
解之，得b＝13，c＝29，
所以ab＋c＝2×13＋29＝55．
例3（1996年北京初二数学竞赛复赛题）p是质数，并且p^6＋3也是质数，则p^11－52＝ ．
分析与解：因为p为质数，所以p^6＋3＞2，由性质4，得
p^6＋3是奇数，
所以p^6是偶数，p是偶数，
又p是质数，所以p＝2．
所以p^11－52＝2 ^11－52＝1996．
例4（2000年希望杯试题）已知一个三角形的三条边的长分别是a、b、c（a、b、c都是质数），且a＋b＋c＝16，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形；B．等腰三角形；
C．等边三角形；D．直角三角形或等腰三角形．
分析与解：因为a、b、c都是质数，且a＋b＋c＝16为偶数，
所以a、b、c中有一个是2，
不妨设c＝2，则a＋b＝14．
由三角形三边关系，知|a－b|＜2，
所以满足条件的质数a、b只能是a＝b＝7，
所以三角形为等腰三角形，选B．
例5（1998年全国初中数学竞赛题）若质数p、q满足3p＋5q＝31，则p^q q^p的值是＿＿＿．
分析与解：因为3p＋5q＝31，所以3p与5q为一奇一偶．
若3p为奇数，则5q为偶数，从而q＝2，
代入已知式，得p＝7，从而p^q q^p＝177；
若3p为偶数，则p＝2，从而q＝5，
所以p^q q^p＝57．
综上，p^q q^p的值为177或57．
例6（2013"希望杯"初一培训题）自然数n是两个质数的乘积，这个自然数包含1，但不包含n的所有因数的和等于1000，则n的值是（ ）
A．1994 B．1496 C．2090 D．2013
分析与解：设n＝pq（p、q为质数），
则由规定n的因数为1，p，q，
所以1＋p＋q＝1000，
所以p＋q＝999为奇数，
所以p、q中必有一个为2，
设p＝2，则q＝997，
所以n＝2×997＝1994．选A．
例7（1995年安徽省初中数学竞赛题）已知p、q为质数，且p、q是方程x^2-19x m=0的两根，则m＝＿＿＿．
分析与解：由根和系数的关系，得p＋q＝19，
因为p、q为质数，所以其中有一个是2，不妨设p＝2，
则q＝17，所以由pq＝m，
所以m＝2×17＝34．
例8（2001年全国初中数学竞赛题）如果a、b是质数，且a^2－13a＋m＝0，b^2－13b＋m＝0，那么b/a a/b的值为（ ）
A．123/22 B．125/22或2 C．125/22 D．123/22或2．
分析与解：若a＝b，则b/a a/b＝2；
若a≠b，则由已知等式知：a、b是关于x的方程
x^2－13x＋m＝0的两根，
由韦达定理，得
a＋b＝13，ab＝m，
因为a、b为质数，所以a、b中必有一个是2，
由求值式中a、b的对称性，不妨设a＝2，
则b＝11，m＝22，
故b/a a/b＝(a^2 b^2)/(ab)=[(a b)^2-2ab]/(ab)
＝125/22.
综上，b/a a/b的值为2或125/22，选B．
例9（2002年江苏省初一数学竞赛题）已知三个质数a、b、c满足a＋b＋c＋abc＝99，那么｜a－b｜＋｜b－c｜＋｜c－a｜的值等于＿＿
分析：如果a、b、c都是奇数，则abc也是奇数，与已知不符，故a、b、c必有一个是偶质数2，不妨设a＝2，则b＋c＋2bc＝97，
若b、c全是奇数，则b＋c是偶数，与已知不符，故b、c中又有一个偶质数2，不妨设b＝2，则c＝19，
故｜a－b｜＋｜b－c｜＋｜c－a｜＝34．
例10（2013"希望杯"初一第1试）如果四个不同的质数的和为37，那么这样的四个质数乘积的最大值是 ，最小值是 ．
分析与解：设四个不同的质数为a、b、c、d，且a＜b＜c＜d，
则由a＋b＋c＋d＝37为奇数可知a＝2，
所以b＋c＋d＝35．
若b＝3，则c＋d＝32，
所以c＝13，d＝19，
所以abcd＝2×3×13×19＝1482；
若b＝5，则c＋d＝30，
所以c＝13，d＝17，
所以abcd＝2×5×13×17＝2210；
若b＝7，则c＋d＝28，
所以c＝11，d＝17，a
所以bcd＝2×7×11×17＝2618；
若b＝11，则c＋d＝24，
所以c＝11，d＝13，与b<c不符．
综上，abcd的最大值为2618，最小值为1482．
