结构布置
框架结构布置主要是确定柱在平面上的排列方式（柱网布置）和选择结构承重方案，这些均必须满足建筑平面及使用要求，同时也须使结构受力合理，施工简单。
5.1.1 柱网和层高
工业建筑柱网尺寸和层高根据生产工艺要求确定。常用的柱网有内廊式和等跨式两种。内廊式[图2.1.1(a)]的边跨跨度一般为6~8m，中间跨跨度为2~4m。等跨式的跨度一般为6~12m。柱距通常为6m，层高为3.6m~5.4m。
民用建筑柱网和层高根据建筑使用功能确定。目前，住宅、宾馆和办公楼柱网可划分为小柱网和大柱网两类。小柱网指一个开间为一个柱距[图5.1.1(a,b)]，柱距一般为3.3m，3.6m，4.0m等；大柱网指两个开间为一个柱距[图5.1.1(c)]，柱距通常为6.0m，6.6m，7.2m，7.5m等。常用的跨度（房屋进深）有：4.8m，5.4m，6.0m，6.6m，7.2m，7.5m等。
卧室(a)(b)(c)4750760047507600700060005650卧室400040005650走廊卧室及卫生间20007500750040004000
图5.1.1 民用建筑柱网布置
宾馆建筑多采用三跨框架。有两种跨度布置方式：一种是边跨大、中跨小，可将卧室和卫生间一并设在边跨，中间跨仅作走道用；另一种则是边跨小、中跨大，将两边客房的卫生间与走道合并设于中跨内，边跨仅作卧室，如北京长城饭店[图5.1.1(b)]和广州东方宾馆[图5.1.1(c)]。
办公楼常采用三跨内廊式、两跨不等跨或多跨等跨框架，如图2.1.1(a),(b),(c)。采用不等跨时，大跨内宜布置一道纵梁，以承托走道纵墙。
近年来，由于建筑体型的多样化，出现了一些非矩形的平面形状，如图2.1.1(d),(e),(f)所示。这使柱网布置更复杂一些。
5.1.2 框架结构的承重方案
（1）横向框架承重。主梁沿房屋横向布置，板和连系梁沿房屋纵向布置[图5.1.2(a)]。由于竖向荷载主要由横向框架承受，横梁截面高度较大，因而有利于增加房屋的横向刚度。这种承重方案在实际结构中应用较多。
(a)(b)板主梁连系梁连系梁板主梁(c)双向板主梁
图5.1.2 框架结构承重方案
1
（2）纵向框架承重。主梁沿房屋纵向布置，板和连系梁沿房屋横向布置[图5.1.2(b)]。这种方案对于地基较差的狭长房屋较为有利，且因横向只设置截面高度较小的连系梁，有利于楼层净高的有效利用。但房屋横向刚度较差，实际结构中应用较少。
（3）纵、横向框架承重。房屋的纵、横向都布置承重框架[图5.1.2(c)]，楼盖常采用现浇双向板或井字梁楼盖。当柱网平面为正方形或接近正方形、或当楼盖上有较大活荷载时，多采用这种承重方案。
以上是将框架结构视为竖向承重结构（vertical load-resisting structure）来讨论其承重方案的。框架结构同时也是抗侧力结构（lateral load-resisting structure），它可能承受纵、横两个方向的水平荷载（如风荷载和水平地震作用），这就要求纵、横两个方向的框架均应具有一定的侧向刚度和水平承载力。因此，《高层规程》规定，框架结构应设计成双向梁柱抗侧力体系，主体结构除个别部位外，不应采用铰接。bbx梁cxl梁cb柱hx水平加腋blx
图5.1.3 梁端水平加腋处平面图
在框架结构布置中，梁、柱轴线宜重合，如梁须偏心放置时，梁、柱中心线之间的偏心距不宜大于柱截面在该方向宽度的1/4。如偏心距大于该方向柱宽的1/4时，可增设梁的水平加腋（图5.1.3）。试验表明，此法能明显改善梁柱节点承受反复荷载的性能。
梁水平加腋厚度可取梁截面高度，其水平尺寸宜满足下列要求：
bx / lx ≤ 1/2 ， bx / bb ≤ 2/3 ， bb bx x ≥ bc/2
式中符号意义见图5.1.3。
5.2 框架结构的计算简图
在框架结构设计中，应首先确定构件截面尺寸及结构计算简图，然后进行荷载计算及结构内力和侧移分析。本节主要说明构件截面尺寸和结构计算简图的确定等内容，结构内力和侧移分析将在5.3和5.4节中介绍。
5.2.1 梁、柱截面尺寸
框架梁、柱截面尺寸应根据承载力、刚度及延性等要求确定。初步设计时，通常由经验或估算先选定截面尺寸，以后进行承载力、变形等验算，检查所选尺寸是否合适。
1．梁截面尺寸
框架结构中框架梁的截面高度hb可根据梁的计算跨度lb、活荷载大小等，按hb = (1/18~1/10)lb确定。为了防止梁发生剪切脆性破坏，hb不宜大于1/4梁净跨。主梁截面宽度可取bb = (1/3~1/2)hb，且不宜小于200mm。为了保证梁的侧向稳定性，梁截面的高宽比（hb/bb）不宜大于4。
为了降低楼层高度，可将梁设计成宽度较大而高度较小的扁梁，扁梁的截面高度可按(1/18~1/15)lb估算。扁梁的截面宽度b（肋宽）与其高度h的比值b/h不宜超过3。
设计中，如果梁上作用的荷载较大，可选择较大的高跨比hb/lb。当梁高较小或采用扁梁时，除应验算其承载力和受剪截面要求外，尚应验算竖向荷载作用下梁的挠度和裂缝宽度，以满足其正常使用要求。在挠度计算时，对现浇梁板结构，宜考虑梁受压翼缘的有利影响，并可将梁的合理起拱值从其计算所得挠度中扣除。加腋
图5.2.1 加腋梁
当梁跨度较大时，为了节省材料和有利于建筑空间，可将梁设计成加腋形式（图5.2.1）。
2
2．柱截面尺寸
柱截面尺寸可直接凭经验确定，也可先根据其所受轴力按轴心受压构件估算，再乘以适当的放大系数以考虑弯矩的影响。即
Ac ≥ (1.1~1.2)N / fc （5.2.1）
N = 1.25Nv （5.2.2）
式中， Ac为柱截面面积；N为柱所承受的轴向压力设计值；Nv为根据柱支承的楼面面积计算由重力荷载产生的轴向力值；1.25为重力荷载的荷载分项系数平均值；重力荷载标准值可根据实际荷载取值，也可近似按（12~14）kN/m2计算；fc为混凝土轴心抗压强度设计值。
框架柱的截面宽度和高度均不宜小于300mm，圆柱截面直经不宜小于350mm，柱截面高宽比不宜大于3。为避免柱产生剪切破坏，柱净高与截面长边之比宜大于4，或柱的剪跨比宜大于2。
3．梁截面惯性矩
在结构内力与位移计算中，与梁一起现浇的楼板可作为框架梁的翼缘，每一侧翼缘的有效宽度可取至板厚的6倍；装配整体式楼面视其整体性可取等于或小于6倍；无现浇面层的装配式楼面，楼板的作用不予考虑。
设计中，为简化计算，也可按下式近似确定梁截面惯性矩I：
0IIβ= （5.2.3）
式中：I0为按矩形截面（图5.2.2中阴影部分）计算的梁截面惯性矩；β为楼面梁刚度增大系数，应根据梁翼缘尺寸与梁截面尺寸的比例，取β=1.3~2.0，当框架梁截面较小楼板较厚时，宜取较大值，而梁截面较大楼板较薄时，宜取较小值。通常，对现浇楼面的边框架梁可取1.5，中框架梁可取2.0；有现浇面层的装配式楼面梁的β值可适当减小。
图5.2.2 梁截面惯性矩I0
5.2.2 框架结构的计算简图
1．计算单元
框架结构房屋是由梁、柱、楼板、基础等构件组成的空间结构体系，一般应按三维空间结构进行分析。但对于平面布置较规则的框架结构房屋[图5.2.3]，为了简化计算，通常将实际的空间结构简化为若干个横向或纵向平面框架进行分析，每榀平面框架为一计算单元，如图5.2.3（a）所示。
就承受竖向荷载而言，当横向（纵向）框架承重时，截取横向（纵向）框架进行计算，全部竖向荷载由横向（纵向）框架承担，不考虑纵向（横向）框架的作用。当纵、横向框架混合承重时，
纵向框架纵向框架(b)横向框架(a)横向框架
图5.2.3 平面框架的计算单元及计算模型
3
应根据结构的不同特点进行分析，并对竖向荷载按楼盖的实际支承情况进行传递，这时竖向荷载通常由纵、横向框架共同承担。
在某一方向的水平荷载作用下，整个框架结构体系可视为若干个平面框架，共同抵抗与平面框架平行的水平荷载，与该方向正交的结构不参与受力。每榀平面框架所抵抗的水平荷载，当为风荷载时，可取计算单元范围内的风荷载[图5.2.3(a)]；当为水平地震作用时，则为按各平面框架的侧向刚度比例所分配到的水平力。
2．计算简图
将复杂的空间框架结构简化为平面框架之后，应进一步将实际的平面框架转化为力学模型[图5.2.3(b)]，在该力学模型上作用荷载，就成为框架结构的计算简图。
在框架结构的计算简图中，梁、柱用其轴线表示，梁与柱之间的连接用节点（beam-column joints）表示，梁或柱的长度用节点间的距离表示，如图5.2.4所示。由图可见，框架柱轴线之间的距离即为框架梁的计算跨度；框架柱的计算高度应为各横梁形心轴线间的距离，当各层梁截面尺寸相同时，除底层柱外，柱的计算高度即为各层层高。对于梁、柱、板均为现浇的情况，梁截面的形心线可近似取至板底。对于底层柱的下端，一般取至基础顶面；当设有整体刚度很大的地下室、且地下室结构的楼层侧向刚度不小于相邻上部结构楼层侧向刚度的2倍时，可取至地下室结构的顶板处。
对斜梁或折线形横梁，当倾斜度不超过1/8时，在计算简图中可取为水平轴线。h5h4h3h2h1h1h2h3h4h5(b)(a)l2l1l2l1
图5.2.4 框架结构计算简图
在实际工程中，框架柱的截面尺寸通常沿房屋高度变化。当上层柱截面尺寸减小但其形心轴仍与下层柱的形心轴重合时，其计算简图与各层柱截面不变时的相同（图5.2.4）。当上、下层柱截面尺寸不同且形心轴也不重合时，一般采取近似方法，即将顶层柱的形心线作为整个柱子的轴线，如图5.2.5所示。但是必须注意，在框架结构的内力和变形分析中，各层梁的计算跨度及线刚度仍应按实际情况取；另外，尚应考虑上、下层柱轴线不重合，由上层柱传来的轴力在变截面处所产生的力1l2lhnhih21h4ll3(a)nhih21hhl2(b)l1
图5.2.5 变截面柱框架结构计算简图
4
矩[图5.2.5(b)]。此力矩应视为外荷载，与其他竖向荷载一起进行框架内力分析。
3．关于计算简图的补充说明
上述计算简图是假定框架的梁、柱节点为刚接（rigid-jointed），这对模拟现浇钢筋混凝土框架的梁柱节点最为合适。对于装配整体式框架，如果梁、柱中的钢筋在节点处为焊接或搭接，并在现场浇筑部分混凝土使节点成为整体，则这种节点亦可视为刚接节点。但是，这种节点的刚性（rigidity）不如现浇钢筋混凝土框架好，在竖向荷载作用下，相应的梁端实际负弯矩小于计算值，而跨中实际正弯矩则大于计算值，截面设计时应给予调整。
对于装配式框架，一般是在构件的适当部位预埋钢板，安装就位后再予以焊接。由于钢板在其自身平面外的刚度很小，故这种节点可有效地传递竖向力和水平力，传递弯矩的能力有限。通常视具体构造情况，将这种节点模拟为铰接（hinge -jointed）[图5.2.6(a)]或半铰接（semi-hinge jointed）[图5.2.6(b)]。
(a)钢板灌缝(b)
图5.2.6 装配式框架的铰节点
框架柱与基础的连接亦有刚接和铰接两种。当框架柱与基础现浇为整体[图5.2.7(a)]、且基础具有足够的转动约束作用时，柱与基础的连接应视为刚接，相应的支座为固定支座。对于装配式框架，如果柱插入基础杯口有一定的深度，并用细石混凝土与基础浇捣成整体，则柱与基础的连接可视为刚接[图5.2.7(b)]；如用沥青麻丝填实，则预制柱与基础的连接可视为铰接[图5.2.7(c)]。(a)填沥青麻丝(c)(b)细石混凝土浇实
图5.2.7 框架柱与基础的连接
5.3 竖向荷载作用下框架结构内力的简化计算
在竖向荷载（vertical load）作用下，多、高层框架结构的内力可用力法、位移法等结构力学方法计算。工程设计中，如采用手算，可采用迭代法、分层法、弯矩二次分配法及系数法等简化方法计算。本节简要介绍后三种简化方法的基本概念和计算要点。
5.3.1 分层法
1．竖向荷载作用下框架结构的受力特点及内力计算假定
力法或位移法的精确计算结果表明，在竖向荷载作用下，框架结构的侧移对其内力的影响较小。例如，图5.3.1为两层两跨不对称框架结构在竖向荷载作用下的弯矩图，其中i表示各杆件的相对线刚度。图中不带括号的杆端弯矩值为精确值（考虑框架侧移影响），带括号的弯矩值是近似值（不考虑框架侧移影响）。可见，在梁线刚度大于柱线刚度的情况下，只要结构和荷载不是非常不对称，则
5
(44.4)44.1q=20kN/m11.4=1.1i(9.5)=15kN/m=3.3iq=1.1i(44.7)48.733009.9(11.7)11.42.7=1(6.0)(3.0)=5ii(0.8)1.30.8=1i(0.4)4500=5i(9.0)7.12.3=1i(1.9)4500(4.0)5.93600(12.6)5.8
图5.3.1 竖向荷载作用下框架弯矩图（单位：kN·m）
竖向荷载作用下框架结构的侧移较小，对杆端弯矩的影响也较小。
另外，由影响线理论及精确计算结果可知，框架各层横梁上的竖向荷载只对本层横梁及与之相连的上、下层柱的弯矩影响较大，对其他各层梁、柱的弯矩影响较小。也可从弯矩分配法的过程来理解，受荷载作用杆件的弯矩值通过弯矩的多次分配与传递，逐渐向左右上下衰减，在梁线刚度大于柱线刚度的情况下，柱中弯矩衰减得更快，因而对其他各层的杆端弯矩影响较小。
根据上述分析，计算竖向荷载作用下框架结构内力时，可采用以下两个简化假定：
（1）不考虑框架结构的侧移对其内力的影响；
（2）每层梁上的荷载仅对本层梁及其上、下柱的内力产生影响，对其他各层梁、柱内力的影响可忽略不计。
应当指出，上述假定中所指的内力不包括柱轴力，因为某层梁上的荷载对下部各层柱的轴力均有较大影响，不能忽略。
2．计算要点及步骤
（1）将多层框架沿高度分成若干单层无侧移的敞口框架，每个敞口框架包括本层梁和与之相连的上、下层柱。梁上作用的荷载、各层柱高及梁跨度均与原结构相同，如图5.3.2所示。
（2）除底层柱的下端外，其他各柱的柱端应为弹性约束。为便于计算，均将其处理为固定端（图5.3.2）。这样将使柱的弯曲变形有所减小，为消除这种影响，可把除底层柱以外的其他各层柱的线刚度均乘以修正系数0.9。
（3）用无侧移框架的计算方法（如弯矩分配法）计算各敞口框架的杆端弯矩，由此所得的梁端弯矩即为其最后的弯矩值；因每一柱属于上、下两层，所以每一柱端的最终弯矩值需将上、下层计算所得的弯矩值相加。在上、下层柱端弯矩值相加后，将引起新的节点不平衡弯矩，如欲进一步修正，可对这些不平衡弯矩再作一次弯矩分配。
如用弯矩分配法计算各敞口框架的杆端弯矩，在计算每个节点周围各杆件的弯矩分配系数时，应采用修正后的柱线刚度计算；并且底层柱和各层梁的传递系数均取1/2，其他各层柱的传递系数改用1/3。
（4）在杆端弯矩求出后，可用静力平衡条件计算梁端剪力及梁跨中弯矩；由逐层叠加柱上的竖向压力（包括节点集中力、柱自重等）和与之相连的梁端剪力，即得柱的轴力。图5.3.2 竖向荷载作用下分层计算示意图
6
[例题5.3-1] 图5.3.3（a）为两层两跨框架，各层横梁上作用均布线荷载。图中括号内的数值表示杆件的相对线刚度值；梁跨度值与柱高度值均以mm为单位。试用分层法计算各杆件的弯矩。
(4.21)(7.11)IHH(10.21)(7.63)GGDDA3800FC4400(1.79)q(4.21)E=3.4kN/m(12.77)B5600(4.84)(3.64)=3.8kN/m(9.53)Dq7500AFFHEBEICG=2.8kN/mqI
（a） （b）
图5.3.3 例题5.3-1附图
[解] 首先将原框架分解为两个敞口框架，如图5.3.3（b）所示。然后用弯矩分配法计算这两个敞口框架的杆端弯矩，计算过程见图5.3.4（a）（b），其中梁的固端弯矩按M=ql2/12计算。在计算弯矩分配系数时，DG，EH和FI柱的线刚度已乘系数0.9，这三根柱的传递系数均取1/3，其他杆件的传递系数取1/2。
−.78 −5.80−.03 −.090.15−.32 −.82−.51−.43 −.66下柱 右梁0.31 0.12 0.16 0.410.35 0.18 0.47左梁 下柱 右梁−.03 −.05−.76 −.39−.12 −.0615.09 −.50E下柱 右梁0.33 0.674.67 9.484.13 0.250.02 0.044.82 −.82−3.1313.13−.020.13−.38−.061.61D4.74(a)(b)18.92 −.34−.07 −.030.060.62 −.244.51−.77 −.07−.89−0.366.843.520.010.01 0.02−.040.060.11 0.12−.316.72 9.023.45−.3817.81−7.81ED1.17−.45HG上柱左梁右梁上柱 下柱 0.18 0.35 0.47B−.503.42A0.86 0.14左梁 下柱0.75 −.750.07 0.014.13 0.25−.08−.51−.12 −.83−.377.32−.25−.32−.73−.56−.020.22−.16−3.59−.50F−.661.835.01 −.64−.410.29 0.04−.600.04 0.001.92−.05−.410.080.01−.328.89F−.20I下柱左梁上柱0.71 0.09 0.20C
图5.3.4 弯矩分配
根据图5.3.4的弯矩分配结果，可计算各杆端弯矩。例如，对节点G而言，由图5.3.4（a）得梁端弯矩为-4.82kN·m，柱端弯矩为4.82kN·m；而由图5.3.4（b）得柱端弯矩为1.17kN·m；则最后的梁、柱端弯矩分别为-4.82kN·m和4.82 1.17=5.99kN·m。显然，节点出现的不平衡弯矩值为1.17kN·m。现对此不平衡弯矩再作一次分配，则得梁端弯矩为-4.82 (-1.17)×0.67=-5.60kN·m，柱端弯矩为5.99 (-1.17)×0.33=5.60kN·m。对其余节点均如此计算，可得用分层法计算所得的杆端弯矩，如图5.3.5所示。图中还给出了梁跨中弯矩值，它是根据梁上作用的荷载及梁端弯矩值由静力平衡条件所得。
1.87(1.29)0.660.89(1.66)1.78(2.35)(2.31)1.705.33(1.83)1.27(3.44)2.100.83(1.61)15.60(14.75)4.71(3.36)19.06(19.41)(1.86)3.4211.774.84(4.77)(5.25)6.289.56(10.02)11.12(15.53)15.25(1.71)0.92(5.25)5.60(12.17)13.38
图5.3.5 框架弯矩图（单位：kN·m）
为了对分层法计算误差的大小有所了解，图5.3.5中尚给出了考虑框架侧移时的杆端弯矩（括号内的数值，可视为精确值）。由此可见，用分层法计算所得的梁端弯矩误差较小，柱端弯矩误差较大。
7
5.3.2 弯矩二次分配法
计算竖向荷载作用下多层多跨框架结构的杆端弯矩时，如用无侧移框架的弯矩分配法，由于该法要考虑任一节点的不平衡弯矩对框架结构所有杆件的影响，因而计算相当繁复。根据在分层法中所作的分析可知，多层框架中某节点的不平衡弯矩对与其相邻的节点影响较大，对其他节点的影响较小，因而可假定某一节点的不平衡弯矩只对与该节点相交的各杆件的远端有影响，这样可将弯矩分配法的循环次数简化到弯矩二次分配和其间的一次传递，此即弯矩二次分配法。下面说明这种方法的具体计算步骤。
（1）根据各杆件的线刚度计算各节点的杆端弯矩分配系数，并计算竖向荷载作用下各跨梁的固端弯矩。
（2）计算框架各节点的不平衡弯矩，并对所有节点的反号后的不平衡弯矩均进行第一次分配（其间不进行弯矩传递）。
（3）将所有杆端的分配弯矩同时向其远端传递（对于刚接框架，传递系数均取1/2）。
（4）将各节点因传递弯矩而产生的新的不平衡弯矩反号后进行第二次分配，使各节点处于平衡状态。
至此，整个弯矩分配和传递过程即告结束。
（5）将各杆端的固端弯矩（fixed-end moment）、分配弯矩和传递弯矩叠加，即得各杆端弯矩。
5.4 水平荷载作用下框架结构内力和侧移的简化计算
水平荷载作用下框架结构的内力和侧移可用结构力学方法计算，常用的简化方法有反弯点法、D值法和门架法等。本节主要介绍D值法的基本原理和计算要点，对反弯点法仅作简要介绍。
5.4.1 水平荷载作用下框架结构的受力及变形特点
框架结构在水平荷载（如风荷载、水平地震作用等）作用下，一般都可归结为受节点水平力的作用，这时梁柱杆件的变形图和弯矩图如图5.4.1所示。由图可见，框架的每个节点除产生相对水平位移iδ外，还产生转角iθ，由于越靠近底层框架所受层间剪力越大，故各节点的相对水平位移iδ和转角iθ都具有越靠近底层越大的特点。柱上、下两段弯曲方向相反，柱中一般都有一个反弯点。梁和柱的弯矩图都是直线，梁中也有一个反弯点。如果能够求出各柱的剪力及其反弯点位置，则梁、柱内力均可方便地求得。因此，水平荷载作用下框架结构内力近似计算的关键：一是确定层间剪力在各柱间的分配，二是确定各柱的反弯点位置。
31θ2θθδ32δδ11δ2δ3δF1F2F3V31V21V11V32V22V12V13V23V33h3h2h1δ32δδ1
图5.4.1 水平荷载作用下框架结构的变形图及弯矩图
5.4.2 D值法
1．层间剪力在各柱间的分配
32FF32V22VV22V1
图5.4.2 框架第2层脱离体图
从图5.4.1(a)所示框架的第2层柱反弯点处截取脱离体（图5.4.2），由水平方向力的平衡条件，可得该框架第2层的层间剪力V2 = F2 F3。一般地，框架结构第i层的层间剪力Vi可表示为
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Σ==mikiFVk （5.4.1）
式中：Fk表示作用于第k层楼面处的水平荷载；m为框架结构的总层数。
令Vij表示第i层第j柱分配到的剪力，如该层共有s根柱，则由平衡条件可得
isjijVV=Σ=1 （a）
框架横梁的轴向变形一般很小,可忽略不计，则同层各柱的相对侧移ijδ相等(变形协调条件)，即
iijiiδδδδ=⋅8901 .⋅=⋅8901 .==21 （b）
用Dij表示框架结构第i层第j柱的侧向刚度（lateral stiffness），它是框架柱两端产生单位相对侧移所需的水平剪力，称为框架柱的侧向刚度，亦称为框架柱的抗剪刚度，则由物理条件得
ijijijDVδ⋅ （c）
将式（c）代入式（a），并考虑式（b）的变形条件，则得isjijiijVDΣ===11δδ （d）
将式（d）代入式（c），得isjijijijVDDVΣ==1 （5.4.2）
式（5.4.2）即为层间剪力Vi在该层各柱间的分配公式，它适用于整个框架结构同层各柱之间的剪力分配。可见，每根柱分配到的剪力值与其侧向刚度成比例。
2．框架柱的侧向刚度——D值
（1）一般规则框架中的柱
所谓规则框架是指各层层高、各跨跨度和各层柱线刚度分别相等的框架，如图5.4.3（a）所示。现从框架中取柱AB及与其相连的梁柱为脱离体[图5.4.3（b）]，框架侧移后，柱AB达到新的位置。柱AB的相对侧移为δ，弦转角为h/δϕ=，上、下端均产生转角θ。
对图5.4.3（b）所示的框架单元，有8个节点转角θ和3个弦转角ϕ共11个未知数，而只有节点A、B两个力矩平衡条件。为此，作如下假定：
i4i2(a)ici3icici1DFBEACLJKllhhhhhh(b)CϕθθicicMABA’i3i4θGB’hδEθθi2θMBAicDθHi1θFHGMll
图5.4.3 框架柱侧向刚度计算图式
①柱AB两端及与之相邻各杆远端的转角θ均相等；
②柱AB及与之相邻的上、下层柱的弦转角ϕ均相等；
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③柱AB及与之相邻的上、下层柱的线刚度ic均相等。
由前两个假定，整个框架单元[图5.4.3（b）]只有θ和ϕ两个未知数，用两个节点力矩平衡条件可以求解。
由转角位移方程及上述假定可得
)(6624ccccBDACBAABϕθϕθθ−−====iiiiMMMM
θ3AEi6M=，θ4AGi6M=，θ1BFi6M=，θ2BHi6M=
由节点A和节点B的力矩平衡条件分别得
012)2(6cc43=− ϕθiiii
012)2(6cc21=− ϕθiiii
将以上两式相加，经整理后得 K =22ϕθ （5.4.3）
式中，[c4231c/2/)(2/)(2/iiiiiiiK ==Σ ，表示节点两侧梁平均线刚度与柱线刚度的比值，简称梁柱线刚度比。
柱AB所受到的剪力为ϕ981 .θ)1(12cBAAB− −hihMMV
将式（5.4.3）代入上式得δϕ⋅8901 . =⋅=2cc122122hiKKhiKKV
由此可得柱的侧向刚度D为2c2c12122hihiKKVDcαδ=⋅== （5.4.4） KK =2cα （5.4.5）
式中，cα称为柱的侧向刚度修正系数，它反映了节点转动降低了柱的侧向刚度，而节点转动的大小则取决于梁对节点转动的约束程度。由式（5.4.5）可见，∞→K，1c→α，这表明梁线刚度越大，对节点的约束能力越强，节点转动越小，柱的侧向刚度越大。
现讨论底层柱的D值。由于底层柱下端为固定（或铰接），所以其D值与一般层不同。从图5.4.3（a）中取出柱JK和与之相连的上柱和左、右梁，如图5.4.4所示。当底层柱的下端为固定时，由转角位移方程得
hKϕicicJθCθ ，ϕθccKJ62iiM−
θ5JL6iM=， θ6JM6iM=
柱JK所受的剪力为δϕθϕθ)211(121262ccc−−8722 .hihii
则柱JK的侧向刚度为2c2cJk1212211hihiVDcαϕθδ=⎟9119 .⎠9118 .⎜9116 .⎝9115 .−= （5.4.4a）
式中 ϕθα211c−
设 θϕθθϕθβ
