方法一:都是幂指数的形式,可以提出最高次项,极限值就是最高次项的系数之比。
方法二:可以用洛必达法则求极限。具体做法是同时对分子分母求导,然后借助方法一或者直接代入,可以得到答案。
如果说函数的自变量x趋向于无穷大(包括正无穷和负无穷)时，函数y的值也趋向于一个常数a的话，那么就说该函数有界，y=a叫该函数的临界值，也叫函数的水平渐近线。
____如y=(2x+1)/(x-1)，lim(x→∞)|(2x+1)/(x-1)=2
一、先求出n项和的表达式再求极限
这种方法通常适用于求数列通项为n项和的极限问题.求n项和的表达常常需要高中阶段求数列前n项和的方法，高中问题这里不再详述.
例1求limn→∞1+32+522+723+…+2n-12n-1.
由于cn=2n-12n-1=anbn，其中an=2n-1是等差数列，bn=12n-1是等比数列.求这样的数列{anbn}的前n项和，常用“乘公比，错位减”的方法.故设Sn=1+32+522+723+…+2n-12n-1，则12Sn=12+322+523+724+…+2n-12n，将两式相减，可得
12Sn=2+12+122+123+…+12n-2-2n-12n=3-2n+32n，
故Sn=6-4n+62n.
因为limx→∞4x+62x=limx→∞42xln 2=0，
故limn→∞4n+62n=limx→∞4x+62x=0.
所以limn→∞1+32+522+723+…+2n-12n-1=6-0=6.
二、利用两边夹准则求数列极限
有时求数列通项为n项和的极限问题先求n项和的表达式是很难做到的，这时需要尝试其他的方法，两边夹准则就是常考虑的方法.利用两边夹准则求极限时一般需要放缩n项和，常用的放缩技巧如下：
（1）几个正数乘积中，略去大于1的因子就缩小，略去小于1的因子就放大;
（2）分子、分母都是正数，分母缩小（放大），则分数放大（缩小），分子缩小（放大） ，则分数缩小（放大）;
（3）n个正数之和可缩小为n个最小数之和（或缩小为最大数），也可放大为n个最大数之和.
例2求limn→∞1n2+n+1+2n2+n+2+…+nn2+n+n.
由于和式中各项的分子、分母都是正数，故可用放缩技巧（2），即
i[]n2+n+n≤i[]n2+n+i≤i[]n2+n+1（i=1，2，…，n），
于是，有n（n+1）[]2n2+n+n≤∑ni=1in2+n+i≤n（n+1）[]2n2+n+1，
又limn→∞n（n+1）[]2n2+n+n=12，limn→∞n（n+1）[]2n2+n+1=12，
则limn→∞1n2+n+1+2n2+n+2+…+nn2+n+n=12.
例3求limn→∞1+2n+3n+4n1n.
由于表达式的底数部分是几个正数之和，可用放缩技巧（3），即
4=（4n）1[]n≤（1+2n+3n+4n）1[]n≤41[]n·4，limn→∞ 4·41n=4，
所以limn→∞（1+2n+3n+4n）1n=4.
三、利用定積分定义求数列极限
一般求每项为无穷小的无限项的和式极限时通常要考虑利用定积分定义求极限.
例4求limn→∞nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2.
将这个和式化为某个函数在某个区间上的积分和，从而可利用定积分求和式极限.
先将和式改写，
nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2
=1n11+1n2+11+2n2+…+11+nn2.
考虑用[0，1]区间上的函数f（x）=11+x2将[0，1]区间n等分，取每个小区间的右端点ξi，故
nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2=∑ni=111+ξ2iΔxi
=∑ni=111+in2·1n，
所以limn→∞nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2=∫011+x2dx=π4.
有的求数列极限问题表面上看不能利用定积分的定义来求，但经过适当的变形之后是可以用的，如例5.
例5求limn→∞nn！n.
求解过程如下：limn→∞nn！n=elimn→∞ lnnn！n=elimn→∞1n [ln（n！）-nln n]
=elimn→∞1n∑ni=1lnin=e∫10ln xdx=1e.
注意，这里的∫10ln xdx是瑕积分，具体求瑕积分的过程此处省略了.
四、由单调有界原理及其递推公式求数列的极限
