1、算术平方根的概念
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x＾2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
算术平方根的双重非负性：①被开方数a的非负性；②算术平方根的非负性。
即被开方数a≥0，算术平方根x≥0。
2、求一个非负数的算术平方根
①1又7／9；②√2.89；
③（兀－10）＾2
解：①√1又7／9＝√16／9＝4／3；
②√2.89＝1.7，
所以√2.89的算术平方根为√1.7；
③因为兀－10＜0，
所以√（兀－10）＾2＝10－兀。
3、算术平方根的应用
①已知√（m－5）＾2＝5－m，求m的取值范围。
分析：因为√（m－5）＾2是实数（m－5）＾2的算术平方根，为非负数，所以5－m≥0，故m≤5。
②若实数N的算术平方根为3m＋4，平方根为±（2m－4），求N的值是多少？
分析：因为3m＋4是实数N的算术平方根，所以3m＋4≥0，m≥－4／3。
又因为实数N的平方根为±（2m－4），所以3m＋4＝2m－4或3m＋4＝－（2m－4），解得m＝－8或m＝0。
综上所知m＝0，此时3m＋4＝4，故所求实数N＝4＾2＝16。
③已知△ABC的三边分别是a，b，c，且满足√（a－5）＋b＾2－24b＋144＝0，
①求c的取值范围；
②若c＞b＞a，且△ABC为直角三角形，求c的值。
分析：
√（a－5）＋b＾2－24b＋144＝0，
即√（a－5）＋（b－12）＾2＝0，
由题意可知a－5＝0，b－12＝0，
解得a＝5，b＝12。
①由三角形三边性质可得
b－a＜c＜a＋b，那7＜c＜17。
②因为△ABC为直角三角形，且c＞b＞a，故c为斜边。由勾股定理得
c＾2＝a＾2＋b＾2＝5＾2＋12＾2，
即c＾2＝169，解得c＝13。
④在△ABC中，a，b，c分别是角A，角B，角C的对边，且满足（a－3）＾2＋｜b－5｜＋√（c－4）＾2＝0，试判断△ABC的形状。
分析同上。
解：由题意得
a－3＝0，b－5＝0，c－4＝0，
解得a＝3，b＝5，c＝4。
因为a＾2＋c＾2＝3＾2＋4＾2＝25，
b＾2＝5＾2＝25，
所以a＾2＋c＾2＝b＾2，故△ABC为直角三角形。
⑤若｜x｜＝12，√（y＾2）＝15，且｜x＋y｜＝x＋y，求x－y的值。
分析：因为｜x｜＝12，所以x＝±12，
又因为√（y＾2）＝15，所以y＝±15。
因为｜x＋y｜＝x＋y，所以x＋y≥0。
故当x＝12时，y＝15，
此时x－y＝12－15＝－3；
当x＝－12时，y＝15，
此时x－y＝－12－15＝－27。
综上，x－y的值为：－3或－27。
