其中 Q 为 正交矩阵， Λ 为实对角矩阵。
（4）实对称矩阵不同特征值的特征向量正交。
3.3.3 正定、半正定、负定、半负定
对于一个n×n的实对称矩阵M, 当且仅当它对于所有非零实系数向量z都有：
其中zT表示z的转置。
NOTE: 对于复数对称阵，也有同样概念，但此处不考虑。
4. 特征值和特征向量4.1 定义
对于n x n方阵A，若标量λ和n维非0列向量v满足：
那么称λ为A的特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。
4.2 几何意义
λ反映的是：特征向量v的长度在线性变换A下缩放的比例。
如果特征值为正，则表示v在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特征值为负，说明方向会反转；如果特征值为0，则是表示缩回零点。但无论怎样，仍在同一条直线上。
4.3 相关概念
【特征空间】：n阶方阵A所有具有相同的特征值λ的特征向量和零向量一起，组成了一个向量空间，称为A的一个特征空间。
【几何重数】：这个特征空间如果是有限维的，那么它的维数叫做λ的几何重数。
【主特征向量】： 模最大的特征值对应的特征向量是A的主特征向量。
【谱】：在有限维向量空间上，一个方阵A的其所有特征值的集合就是A的谱。
【标准正交基】：是元素两两正交的基。称基中的元素为基向量。
4.4 特征向量与系数方程
特征向量也可以看作是关于系数λ的方程：T(x) = λx 的非零解。
4.5 特征值的性质
n阶方阵A=（aij）有n个特征值（其中可能包括重复值）λ1， λ2， … λn，则有
（1）这n个特征值的和为A对角线上各个数的和： λ1 λ2 … λn = a11 a22 … ann
（2）这n个特征值的乘积为A的行列式：λ1λ2…λn = |A|
（3）不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。
（4） 如果一个n阶方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵。
鸣宇淳
沙发
