孩子从初中开始接触到函数,学了一次函数、反比例函数、二次函数,也学了一元二次方程。二次函数和二次方程是比较难学的,难到什么程度?在我辅导学生时会发现,直到高中了可能他们还没有真正把二次函数学透彻、用明白。
然而二次函数又是高中数学一个非常重要的工具。虽然到了高中我们还要学习指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等新的函数类型,但二次函数始终还是一种应用最广泛、最灵活的函数类型。
二次函数的知识点很丰富,今天要讲的是其中一个难点和重点:用二次函数来解决一元二次方程根与系数的关系问题。说起根与系数的关系,我们会马上想到判别式和韦达定理。用韦达定理,通过两根之和、两根之积可以表达两个根同正、同负、一正一负,或者其他一些比较简单的情况。
但对于更普遍也更复杂的根的范围要求,更好的办法是利用二次函数图像,除了判别式以外,用开口方向、对称轴、区间端点的函数值等几个条件来把图像“锚定”成题目里要求的样子。
看下面这张图:
图1
这么多的根的范围,可以归为两类:
1)两个根在同一区间内。
比如图1中的(1)~(5)是这类情况。
2)两个根分别在两个区间内。
图1中的(6)~(10)是这类情况。
通过画抛物线图像,在开口方向确定的前提下,观察符合要求的图像的对称轴的位置、区间端点函数值是正是负,再看看不符合要求的图像是什么样子,我们就能为符合要求的图像找到最简洁的约束条件——表达的形式就是不等式/不等式组。
经过画图总结,我们发现上面说的两类问题有其规律。
第一类问题,需要的约束条件是比较多的。(图2)
图2
第二类问题,只需要用区间端点的函数值就能约束。(图3)
为什么连判别式也不需要了?因为当开口向上又有小于0的函数值时,就能保证函数图像与x轴有两个公共点了,对吗?
图3
我们来看把这些约束条件列成不等式/不等式组的具体情况。(图4是第一类,图5是第二类)
图4
图5