幂函数在现行高中数学教材中是最低调处理的,对它只是从属于基本初等函数一种类型上做了简单的介绍,如果你是一个高中学生,不建议对此做太深入研究,太复杂,也没有必要。掌握以下几点,就已经超出了课标的要求。
1.幂指数为正数时,它在(0,+∞)递增,且一定过(1,1)点。
2.幂指数为负数时,它在(0,+∞)递减,也一定过(1,1)点。
3.在(-∞,0)上,幂函数有的有意义,有的没有意义,要看幂指数n/m中m,n的符号及奇偶性,非常复杂,高考是不做要求的。
一、当α为整数时,α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性:
1、当α为正奇数时,图像在定义域为R内单调递增。
2、当α为正偶数时,图像在定义域为第二象限内单调递减,在第一象限内单调递增。
3、当α为负奇数时,图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减)。
4、当α为负偶数时,图像在第二象限上单调递增,在第一象限内单调递减。
二、当α为分数时,α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性:
1、当α>0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递增。
2、当α>0,分母为奇数时,若分子为偶数,函数在第一象限内单调递增,在第二象限单调递减;若分子为奇数,函数在第一、三象限各象限内单调递增。
3、当α<0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递减。
4、当α<0,分母为奇数时,函数在第一、三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减)。
三、当α>1时,幂函数图形下凹(竖抛);当0<α<1时,幂函数图形上凸(横抛)。