无界数列一定发散,这点是非常肯定的。不过未必每个学过数列的敛散性的朋友,都知道其中的道理:为什么无界数列就一定发散。
无界数列指的是没有上界或没有下界的数列。即数列既没有上界,也没有下界,称为无界数列;数列有上界,但没有下界,也称为无界数列;数列有上界,但没有下界,依然是无界数列。反过来说,有界数列必须同时具有上界和下界。
用数学的语言描述就是:设{an}为数列,若对一切正数M和正整数N,总存在正整数n0>N,使得a_n0>M,则数列无上界;使得a_n0<-M,则数列无下界;使得|a_n0|>M,则数列既无上界也无下界。教材上一般给出有界的定义,然后用否定定义的方法来说明数列无界的。
再来看看发散数列的定义。当数列不收敛时,就发散。同样的,教材一般也是通过给出收敛数列的定义,然后用否定定义的方法来说明数列发散的。如果要给出发散数列的定义,那就是:
设{an}为数列,对任意的数a,总存在正数ε0,对任意正整数N,总有n0>N,使得|a_n0-a|>=ε0,则数列{an}没有极限,这时就称{an}为发散数列。
设{an}是无界数列,求证{an}发散。
证明:不妨设{an}无上界,则一切正数M和正整数N,总存在正整数n0>N,使得a_n0>M,
对任意的数a和某正数ε0,要使|a_n0-a|>=ε0, 由|a_n0-a|>=a_n0-|a|,可以使a_n0>=ε0 |a|,
只要使ε0=M-|a|,就有|a_n0-a|>=ε0,即{an}发散。
你觉得上面这个证明过程怎么样呢?它其实是有瑕疵的。因为ε0是正数,因此必须保证M-|a|>0. 而M是任意正数,也就是说,它可以无限大,是一个无穷大的数。要使M-|a|<0,|a|就要比无限大还大,它自然也是一个无穷大的数。当{an}收敛于无穷大时,它也是发散数列的一种。因此并没有矛盾。
类似的,也可以证明{an}无下界时的情况。综合起来,就是{an}无界的三种情况下,都发散。教材上一般是用反证法来证明的。也就是说,教材上通过证明收敛数列有界,来反证无界数列发散。但我们自己证明一下,对掌握这方面的知识,非常有帮助。
归纳起来:无界一定发散,所以无界是发散的充分条件;发散未必无界,所以发散不是无界的条件;收敛一定有界,所以有界是收敛的必要条件;有界未必收敛,收敛不是有界的条件。