第十六章 二次根式
知识点一：二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义：形如
的式子叫二次根式，其中
叫被开方数，只有当
是一个非负数时，
才有意义．
【典型例题】
题型一：二次根式的判定
【例1】下列各式1）
，
其中是二次根式的是_________（填序号）．
题型二：二次根式有意义
【例2】若式子
有意义，则x的取值范围是 ．
题型三：二次根式定义的运用
【例3】若y=
2009，则x y=
解题思路：式
子
（a≥0），
，y=2009，则x y=2014
题型四：二次根式的整数与小数部分
已知a是
整数部分，b是
的小数部分，求
的值。
若
的整数部分是a，小数部分是b，则
。
若
的整数部分为x，小数部分为y，求
的值.
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性：
是一个非负数．
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2.
．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：
3.
注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式
与
的区别与联系
（1）
表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．
（2）
表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．
（3）
和
的运算结果都是非负的．
【典型例题】
题型一：二次根式的双重非负性
【例4】若
则
．
题型二：二次根式的性质2 （公式
的运用）
【例5】 化简：
的结果为（ ）
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4
题型三：二次根式的性质3 （公式
的应用）
【例6】已知
,则化简
的结果是
A、
B、
C、
D、
知识点三：最简二次根式和同类二次根式
【知识要点】
1、最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】
【例7】在根式1)
，最简二次根式是（ ）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
解题思路：掌握最简二次根式的条件。
知识点四：二次根式计算——分母有理化
【知识要点】
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用
来确定，如：
，
，
与
等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如
与
，
，
分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】
【例8】 把下列各式分母有理化
（1）
（2）
（3）
（4）
【例9】把下列各式分母有理化
（1）
（2）
（3）
（4）
【例10】把下列各式分母有理化：
（1）
（2）
（3）
小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①
与
； ②
与
；
③
与
； ④
与
．
知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除
【知识要点】
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
=
·
（a≥0，b≥0）
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
·
＝
．（a≥0，b≥0）
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
=
（a≥0，b>0）
4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
=
（a≥0，b>0）
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
【典型例题】
【例11】化简
(1)
(2)
(3)
【例12】计算（1）
（2）
（3）
（4）
知识点六：二次根式计算——二次根式的加减
【知识要点】
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
【典型例题】
【例13】计算
（1）
； （2）
；
【例14】 （1）
（2）
知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值
【知识要点】
1、确定运算顺序；
2、灵活运用运算定律；
3、正确使用乘法公式；
4、大多数分母有理化要及时；
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；
【典型习题】
1、
2、 (2 4－3)
【例15】 1．已知：
，求
的值．
知识点八：根式比较大小
【知识要点】
1、根式变形法 当
时，①如果
，则
；②如果
，则
。
2、平方法 当
时，①如果
，则
；②如果
，则
。
3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法
6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①
；②
8、求商比较法
9、它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①
； ②
【典型例题】
【例16】 比较
与
的大小。（用两种方法解答）
【例17】比较
与
的大小。
一 元 二 次 方 程
一、知识结构：
一元二次方程
二、考点精析
考点一、概念
(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。
(2)一般表达式：
⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：
①该项系数不为“0”；
②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A、
B、
C、
D、
变式：当k 时，关于x的方程
是一元二次方程。
例2、方程
是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
考点二、方程的解
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；
典型例题：
例1、已知
的值为2，则
的值为 。
考点三、解法
⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
⑵关键点：降次
类型一、直接开方法：
※※对于
，
等形式均适用直接开方法
典型例题：
例1、解方程：
=0;
例2、若
，则x的值为 。
类型二、因式分解法:
※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
※方程形式：如
，
，
典型例题：
例1、
的根为（ ）
A
B
C
D
例2、若
，则4x y的值为 。
例3、方程
的解为（ ）
A.
B.
C.
D.
例4、解方程：
例5、已知
,则
的值为 。
类型三、配方法
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式
的值或极值之类的问题。
典型例题：
例1、 试用配方法说明
的值恒大于0。
例2、 已知x、y为实数，求代数式
的最小值。
例3、 已知
为实数，求
的值。
例4、 分解因式：
类型四、公式法
⑴条件：
⑵公式：
,
典型例题：
例1、选择适当方法解下列方程：
⑴
⑵
⑶
例2、在实数范围内分解因式：
（1）
；（2）
. ⑶
说明：①对于二次三项式
的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令
=0，求两根，再写成
=
.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.
类型五、 “降次思想”的应用
⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。
典型例题：
例1、 已知
，求代数式
的值。
例2、如果
，那么代数式
的值。
说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.
考点四、根的判别式
根的判别式的作用：
①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
典型例题：
例1、若关于
的方程
有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
例2、关于x的方程
有实数根，则m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
例3、已知关于x的方程
(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰
ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求
ABC的周长。
例4、已知二次三项式
是一个完全平方式，试求
的值.
例5、
为何值时，方程组
有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？
考点五、方程类问题中的“分类讨论”
典型例题：
例1、关于x的方程
⑴有两个实数根，则m为 ,⑵只有一个根，则m为 。
例2、 不解方程，判断关于x的方程
根的情况。
例3、 如果关于x的方程
及方程
均有实数根，问这两方程
是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。
考点六、应用解答题
⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；
⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题
考点七、根与系数的关系
⑴前提：对于
而言，当满足①
、②
时，
才能用韦达定理。⑵主要内容：
⑶应用：整体代入求值。典型例题：
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程
的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）
A.
B.3 C.6 D.
例2、已知关于x的方程
有两个不相等的实数根
，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？
例4、已知
，
，
，求
变式：若
，
，则
的值为 。
例5、已知
是方程
的两个根，那么
.
针对练习：
1、解方程组
2．已知
，
，求
的值。
3、已知
是方程
的两实数根，求
的值。
