有理化因式的计算方法

首页 > 上门服务 > 作者:YD1662023-06-10 08:54:30

第十六章 二次根式

知识点一:二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义:形如

的式子叫二次根式,其中

叫被开方数,只有当

是一个非负数时,

才有意义.

【典型例题】

题型一:二次根式的判定

【例1】下列各式1)

其中是二次根式的是_________(填序号).

题型二:二次根式有意义

【例2】若式子

有意义,则x的取值范围是

题型三:二次根式定义的运用

【例3】若y=

2009,则x y=

解题思路:式

(a≥0),

,y=2009,则x y=2014

题型四:二次根式的整数与小数部分

已知a是

整数部分,b是

的小数部分,求

的值。

的整数部分是a,小数部分是b,则

的整数部分为x,小数部分为y,求

的值.

知识点二:二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性:

是一个非负数.

注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.

2.

注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:

3.

注意:(1)字母不一定是正数.

(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.

(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外.

4. 公式

的区别与联系

(1)

表示求一个数的平方的算术根,a的范围是一切实数.

(2)

表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数.

(3)

的运算结果都是非负的.

【典型例题】

题型一:二次根式的双重非负性

【例4】

题型二:二次根式的性质2 (公式

的运用)

【例5】 化简:

的结果为( )

A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4

题型三:二次根式的性质3 公式

的应用)

【例6】已知

,则化简

的结果是

A、

B、

C、

D、

知识点三:最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】

1、最简二次根式:

(1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或因式.

2、同类二次根式(可合并根式):

几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。

【典型例题】

【例7】在根式1)

,最简二次根式是( )

A.1) 2) B.3) 4) C.1) 3) D.1) 4)

解题思路:掌握最简二次根式的条件。

知识点四:二次根式计算——分母有理化

【知识要点】

1.分母有理化

定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。

2.有理化因式:

两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下:

①单项二次根式:利用

来确定,如:

等分别互为有理化因式。

②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如

分别互为有理化因式。

3.分母有理化的方法与步骤:

①先将分子、分母化成最简二次根式;

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】

【例8】 把下列各式分母有理化

(1)

(2)

(3)

(4)

【例9】把下列各式分母有理化

(1)

(2)

(3)

(4)

【例10】把下列各式分母有理化:

(1)

(2)

(3)

小结:一般常见的互为有理化因式有如下几类:

; ②

; ④

知识点五:二次根式计算——二次根式的乘除

【知识要点】

1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。

=

·

(a≥0,b≥0)

2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。

·

.(a≥0,b≥0)

3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

=

(a≥0,b>0)

4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。

=

(a≥0,b>0)

注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式.

【典型例题】

【例11】化简

(1)

(2)

(3)

【例12】计算(1)

(2)

(3)

(4)

知识点六:二次根式计算——二次根式的加减

【知识要点】

需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。

注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数.

【典型例题】

【例13】计算

(1)

; (2)

【例14】 (1)

(2)

知识点七:二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

【知识要点】

1、确定运算顺序;

2、灵活运用运算定律;

3、正确使用乘法公式;

4、大多数分母有理化要及时;

5、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化;

【典型习题】

1、

2、 (2 4-3)

【例15】 1.已知:

,求

的值.

知识点八:根式比较大小

【知识要点】

1、根式变形法

时,①如果

,则

;②如果

,则

2、平方法

时,①如果

,则

;②如果

,则

3、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。

4、分子有理化法 通过分子有理化,利用分母的大小来比较。

5、倒数法

6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。

7、作差比较法

在对两数比较大小时,经常运用如下性质:①

;②

8、求商比较法

9、它运用如下性质:当a>0,b>0时,则:①

; ②

【典型例题】

【例16】 比较

的大小。(用两种方法解答)

【例17】比较

的大小。

一 元 二 次 方 程

一、知识结构:

一元二次方程

二、考点精析

考点一、概念

(1)定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。

(2)一般表达式:

⑶难点:如何理解 “未知数的最高次数是2”:

①该项系数不为“0”;

②未知数指数为“2”;

③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题:

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )

A、

B、

C、

D、

变式:当k 时,关于x的方程

是一元二次方程。

例2、方程

是关于x的一元二次方程,则m的值为

考点二、方程的解

⑴概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。

⑵应用:利用根的概念求代数式的值;

典型例题:

例1、已知

的值为2,则

的值为

考点三、解法

⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法

⑵关键点:降次

类型一、直接开方法:

※※对于

等形式均适用直接开方法

典型例题:

例1、解方程:

=0;

例2、若

,则x的值为

类型二、因式分解法:

※方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,

※方程形式:如

典型例题:

例1

的根为( )

A

B

C

D

例2、若

,则4x y的值为

例3、方程

的解为( )

A.

B.

C.

D.

例4、解方程:

例5、已知

,则

的值为

类型三、配方法

※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式

的值或极值之类的问题。

典型例题:

例1、 试用配方法说明

的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数,求代数式

的最小值。

例3、 已知

为实数,求

的值。

例4、 分解因式:

类型四、公式法

⑴条件:

⑵公式:

,

典型例题:

例1、选择适当方法解下列方程:

例2、在实数范围内分解因式:

(1)

;(2)

. ⑶

说明:①对于二次三项式

的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式,这种方法首先令

=0,求两根,再写成

=

.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去.

类型五、 “降次思想”的应用

⑴求代数式的值; ⑵解二元二次方程组。

典型例题:

例1、 已知

,求代数式

的值。

例2、如果

,那么代数式

的值。

说明:解二元二次方程组的具体思维方法有两种:①先消元,再降次;②先降次,再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想,即把新问题转化归结为我们已知的问题.

考点四、根的判别式

根的判别式的作用:

①定根的个数;②求待定系数的值;③应用于其它。

典型例题:

例1、若关于

的方程

有两个不相等的实数根,则k的取值范围是

例2、关于x的方程

有实数根,则m的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

例3、已知关于x的方程

(1)求证:无论k取何值时,方程总有实数根;

(2)若等腰

ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求

ABC的周长。

例4、已知二次三项式

是一个完全平方式,试求

的值.

例5

为何值时,方程组

有两个不同的实数解?有两个相同的实数解?

考点五、方程类问题中的“分类讨论”

典型例题:

例1、关于x的方程

⑴有两个实数根,则m为 ,⑵只有一个根,则m为

例2、 不解方程,判断关于x的方程

根的情况。

例3、 如果关于x的方程

及方程

均有实数根,问这两方程

是否有相同的根?若有,请求出这相同的根及k的值;若没有,请说明理由。

考点六、应用解答题

⑴“碰面”问题;⑵“复利率”问题;⑶“几何”问题;

⑷“最值”型问题;⑸“图表”类问题

考点七、根与系数的关系

⑴前提:对于

而言,当满足①

、②

时,

才能用韦达定理。⑵主要内容:

⑶应用:整体代入求值。典型例题:

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程

的两根,则这个直角三角形的斜边是( )

A.

B.3 C.6 D.

例2、已知关于x的方程

有两个不相等的实数根

(1)求k的取值范围;

(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时,小明因看错常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗?其正确解应该是多少?

例4、已知

,求

变式:若

,则

的值为

例5、已知

是方程

的两个根,那么

.

针对练习:

1、解方程组

2.已知

,求

的值。

3、已知

是方程

的两实数根,求

的值。

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