一、长方体和正方体
1.长方体的特征
(1)两个面相交的线叫作棱,三条棱相交的点叫作顶点。
(2)长方体有6 个面,并且每个面都是长方形(特殊情况下有两个相对的面是正方形)。
(3) 长方体有 12 条棱,相对的 4 条棱的长度相等。
(4) 长方体有 8 个顶点。
(5) 从一个方向观察一个长方体,最多能同时看到 3 个面。相交于一个顶点的三条棱的长度,分别叫作长方体的长、宽、高。
长长方体体积=长X宽X高V=abh
2.正方体的特征
(1) 正方体有 6 个面,它们是完全相同的正方形。
(2) 正方体有 12 条棱,所有棱的长度都相等。
(3) 正方体有 8 个顶点。
公式: 正正方体体积计算公式: V = a×a×a
二、长方体和正方体的表面积
1. 长方体的表面积
长方体 6 个面的总面积,叫作它的表面积。长方体有 6 个面,且相对的两个面完全相同。从一个方向观察一个长方体,最多能同时看到 3 个面,只要计算出这三个面的面积,就能算出长方体的表面积。
公式:长长方体面积 2(ab bh ah)
2. 正方体的表面积
(1) 正方体 6 个面的总面积,叫作它的表面积。
(2) 正方体 6 个面是完全相同的正方形,只要计算出一个面的面积,乘 6 就可算出正方体的表面积。公式:正方体面积 6(a的平方）
长方体的 6 个面中,相对的两个面完全相同。
正方体是特殊的长方体。
计算长方体某个面的面积时,注意根据相对的 4 条棱的长度相等,把长方体的长、宽、高对应到要计算的面上。对于看不到的面要利用“相对的两个面完全相同”转化到能看到的面上。
简记长方体表面积公式:长、宽、高交叉相乘再相加,最后加括号乘2。
无论是计算长方体的表面积或计算正方体的表面积,都要根据实际情况进行计算,注意面的个数是几个。
一、体积、容积单位及进率
1.体积、体积单位间的进率
(1)体积的意义:物体所占空间的大小叫作物体的体积。
(2)体积单位:常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米,用字母表示分别为 cm3 , dm3 , m3 。
①棱长为 1 厘米的正方体,体积是 1 立方厘米。
如,一个手指尖的体积大约是 1 立方厘米,1 粒花生米的体积大约是 1 立方厘米。
②棱长为 1 分米的正方体,体积是 1 立方分米。
如,一个粉笔盒的体积大约是 1 立方分米。
③棱长为 1 米的正方体,体积是 1 立方米。如,装 29 英寸电视机的纸箱的体积大约是 1 立方米。(3)体积单位之间的进率。
计量一个物体的体积,要看这个物体含有多少个“体积单位”。
1 分米=10 厘米,两个正方体的棱长相等,体积就相等。棱长是 10 厘米的正方体里有10×10×10=1000(个)棱长为 1 厘米的正方体,棱长是 10 厘米的正方体,体积是 1000 立方厘米。
2. 容积及容积单位之间的进率
(1) 容积的意义:容器所能容纳物体的体积,叫作它们的容积。
(2) 容积单位有升和毫升,分别用字母 L 和 mL 表示。计量物体的大小一般用体积单位,计量液体的体积常用容积单 位。
(3)．1升=1000毫升=1立方分米 1毫升=1立方厘米
四、长方体和正方体的体积
1.长方体、正方体的体积公式
所有的物体都占有一定的空间。
立方厘米、立方分米、立方米,都是计量物体体积的单位,在计量一个物体的体积是多少时,就是看被测量的物体包含多少个什么样的体积单位,从而知道物体的体积是多少。
用棱长是1 厘米的小正方体拼图形,用了几个小正方体,拼成的图形的体积就是几立方厘米。
大单位化小单位乘进率;小单位化大单位,除以进率。
在填合适的单位时,先看该物体装的是液体还是固体,液体用容积单位,固体用体积单位,再看该物体的大小,大则用升或立方米作单位,小则用毫升或立方厘米作单位。
已知长方体(正方体) 的长、宽、高(棱长),就可以直接运用长方体(正方体)的体积公式进行计算。
长长方体体积=长X宽X高V=abh
正方体体积计算公式: V = a×a×a
(1) 也可以把 a·a·a 写作“a3”,读作“a 的立方”,表示 3 个 a
相乘。正方体的体积公式一般写成:V=a3。
(2) 长方体和正方体底面的面积叫作它们的底面积。用 S
表示底面积,V 表示体积,h 表示高,则:
长长方体体积= Sh
2.长方体、正方体体积公式的变形
3.长方体、正方体容器的容积计算
长方体或正方体容器的容积计算方法与体积的计算方 法相同,但要从容器里面量长、宽、高。
4.等体积变化问题
生活中经常遇到一些物体(固体或液体)的形状发生了变化。但在变化的过程中,体积是没有变化的。
五、测量不规则物体的体积
1. 用排水法可以测量不规则物体的体积,放入不规则物体(被完全淹没)后水面上升,上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。
2. 拿出放入水中的不规则物体(被完全淹没)水面下降, 下降的那部分水的体积就是不规则物体的体积。
在解答形状变化问题时,要抓住体积不变这个关键点进行解答。
用排水法测量不规则物体的体积时,根据水的体积不变,而物体占用了水的空间,则排出水的体积就等于物体占水的空间,即物体的体积。
