房贷中我们都会遇到等额本金，等额本息贷款这个问题，贷款方式选择哪一个比较好，每个人的主观感受都不一样，我们先从数学的角度，来详细的推导一下相关的公式。
首先要明白，一般银行贷款在放贷之后次月开始让购房者开始还贷款，银行每个月从贷款者卡上扣除的金额都包含两部分，一部分是一定数量的本金，一部分是一定数量的利息。
等额本息定义：等额本息是在还款期内，每月偿还同等数额的贷款。简单说把还款期内所要还的本金和利息都计算出来，然后平均数额到每个月里面。本金加利息的总和每个月都相同，银行每个月都按照约定时间从贷款者的银行卡上扣这个固定金额的钱。
等额本金定义：等额本金是在还款期内把贷款本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。简单的说就是每个月银行从贷款者的卡上扣除的（应偿还的本金加利息之和）金额都是不一样的，但是每个月偿还的本金部分都是一样的。
等额本息相关的公式
等额本息每期还款公式
推导方法一 光看剩余总本金
先看一个网上比较流行的推导思路，利用最后一个月贷款本金为0，来解决问题。设贷款总额为A，银行月利率为P，总期数为m（个月），月还款额设为X。（注意，由于后台编辑器的限制，^代表多少次方）
第一期还款时间是贷款放款之日，次月相同之日，所以包含了整个贷款本金一个月的利息，每期还款额都为X ，所以第一期还款完成之后剩余本金为：
第一期A（1＋P）-X
以此类推，
第二期[A（1＋P）-X）]（1＋P）-X＝A(1＋P)^2-X[1 (1 P)]
第三期{[A（1 P）-X](1＋P）-X}（1＋P）-X ＝A(1 P)^3-X[1 (1 P) (1 P)^2]
…
由此可得第n个月后所欠银行贷款为
A(1 P)^n–X[1 (1 P) (1 P)^2 … (1 P)^（n-1）]
这个也可以采用数学归纳法验证一下,结论是正确的。
由此可见中括号内是一个首项a1为1，公比q为1 P的等比数列求和
公比q≠1，所以套用等比数列求和公式
Sn =a1（(q^n) -1）/( q-1),
第n个月后所欠银行贷款简化为A(1 P)^n–X[((1 P)^n)-1]/P
这里要注意: (1 P)^(n-1)是数列中的n项,不要搞错了。
由于还款总期数为m，也即第m月刚好还完银行所有贷款，因此有
A(1 P)^m–X[((1 P)^m)-1]/P=0
由此求得
X=AP(1 P)^m/[((1 P)^m)-1]
推导方法二 根据每月应还利息、本金、剩余本金正推
来看另外一种方法，把每个月的利息，本金，剩余本金都用公式表达出来。设贷款额为A，月利率为P，还款月数为m，每月还款额为X
第一个月还款的利息AP
第一个月剩余本金A
第一个月偿还本金X-AP
第二个月还款的利息
(A-X AP)P
=AP-XP AP^2
=AP(1 P)-XP
注意这里，我们要设法进一步因式分解，进一步提取（1 P），使用增项法，减去一个X再加上一个X得到
= AP(1 P)-XP-X X,调整一下X的位置，得到
=AP(1 P)-X-XP X
=AP(1 P)-X(1 P) X
=(1 P)(AP-X) X
第二个月偿还本金
X-[(1 P)(AP-X) X]
=X-(1 P)(AP-X)–X
=-(1 P)(AP-X)
=(X-AP)(1 P)
第二个月剩余本金
A-(X-AP)-(X-AP)(1 P)
=A-(X-AP)[ 1 (1 P)]
第三个月还款的利息
{A-(X-AP)[ 1 (1 P)]}P
=[A-(X-AP)( 2 P)]P
=AP-(X-AP)(2P P^2)增项得到
=AP-(X-AP)(2P P^2)-X X
=(AP-X)(1 2P P^2) X
=(AP-X)(1 P)^2 X
第三个月偿还本金
=X-[(AP-X)(1 P)^2 X]
= -(AP-X)(1 P)^2
=(X-AP)(1 P)^2
第三个月剩余本金
= A-(X-AP)-(X-AP)(1 P)-(X-AP)(1 P)^2
= A-(X-AP)[1 (1 P) (1 P)^2]
…
由此可以推断：
第n个月当月还款的利息
(AP-X)[(1 P) ^(n-1)] X
第n个月当月还款本金
(X-AP)[(1 P)^ (n-1)]
第n个月剩余总本金
A-(X-AP)[1 (1 P) … (1 P)^ (n-1)]后面括号是等比数列求和,(1 P)^( n-1)是数列的第n项。得到下面的结果
A-(X-AP) [((1 P)^ n)-1]/P
顺便验证一下最后一个月的剩余本金为0即n=m则
A-(X-AP) [((1 P)^ m)-1]/P=0
AP=(X-AP) [((1 P)^m)-1]
AP=X[((1 P)^ m)-1]- AP [((1 P) ^m)-1]
AP AP [((1 P) ^m)-1]= X[((1 P)^ m)-1]
X[((1 P)^ m)-1]= AP AP [((1 P) ^m)-1]
X[((1 P)^ m)-1]= AP{1 [((1 P) ^m)-1]}
最终得到
X=AP(1 P)^m/[((1 P)^m)-1]
与上面方法推导的结论完全相同。这些结论都可以用数学归纳法来验证。
前n个月偿还的总利息为：
(AP-X) X (AP-X)(1 P) X (AP-X)(1 P) 2 X …(AP-X)(1 P) n-1 X
=nX (AP-X)[ (1 P) n-1]/P
前n个月偿还的总本金为：
总本金-剩余本金
A- {A-(X-AP) [(1 P) n-1]/P}
=(X-AP) [(1 P) n-1]/P
等额本金的相关公式推导就简单多了
等额本金还款公式
设贷款总额为A，银行月利率为P，总期数为M（个月），月还款额设为X，每月还款固定本金为B，
月供本金=贷款总额/总期数 B=A/M
月还款=月供本金 月利息
月利息=（贷款总额-已还本金）×月利率
第一个月 已还本金=0 月利息=AP
第二个月 已还本金=B 月利息=(A-B)P
第三个月 已还本金=2B 月利息=(A-2B)P
第四个月 已还本金=3B 月利息=(A-3B)P
…
第n个月 已还本金=(n-1)B 月利息=[A-（n-1）B]P
第n个月还款额
X=B [A-（n-1）B]P
X= A/M [A-（n-1）A/M]P
第n个月月利息=[A-（n-1）A/M]P
支付总利息为：
=AP (A-B)P (A-2B)P …[A-（n-1）B]P
= AP AP-BP AP-2BP …AP-（n-1）BP
= AP AP … AP-BP-2BP-…-（n-1）BP
=nAP-[1 2 …（n-1）] BP
后面括号里面是一个等差数列，求和得到
= nAP-[n (n-1)/2] BP
= {nA-[n (n-1)/2]B} P
= {nA-[n (n-1)/2] A/M }P
即总利息={贷款总额×n－月供本金×[n×(n-1)/2] }×贷款月利率
结论：
等额本息相关公式
设贷款总额为A，银行月利率为P，总期数为m（个月），月还款额设为X。
每月还款本息总金额X=AP(1 P)^m/[((1 P)^m)-1]
第n个月当月还款的利息=(AP-X)[(1 P) ^(n-1)] X
第n个月当月还款本金=(X-AP)[(1 P)^( n-1)]
第n个月剩余总本金=A-(X-AP) [((1 P)^ n)-1]/P
前n个月偿还的总利息= nX (AP-X)[((1 P)^ n)-1]/P
前n个月偿还的总本金=(X-AP) [((1 P) ^n)-1]/P
等额本金相关公式
设贷款总额为A，银行月利率为P，还款总期数为M（个月）
第n个月的还款金额=A/M [A-（n-1）A/M]P
第n个月月利息=[A-（n-1）A/M]P
前n个月总利息={贷款总额×n－月供本金×[n×(n-1)/2] }×贷款月利率
前n个月总利息= {nA-[n (n-1)/2] A/M }P
注意：上面的全是利率全部都是月利率，一般银行给的都是年利率，需要转化成月利率再带入公式计算。
关于哪种方式贷款更划算，可以关注我，我们来一起探讨一下这个问题。
