【分析】（1）利用待定系数法，直接求出抛物线的解析式即可；
（2）根据点C在抛物线上，求出点C的坐标；根据待定系数法求出直线AC的解析式；设点P的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为P（x，﹣x﹣1），E（x，x*2﹣2x﹣3），用含x的式子表示出PE的长度，求出PE的最大值；
（3）根据点G的不同位置，分为4种情况讨论，点G在第二象限的抛物线上，点G在抛物线与y轴的交点上（两种情况），点G在直线AC上方y轴右侧，根据平行四边形的对边平行且相等，求得点F的坐标即可．
【解答】（1）∵抛物线y＝ax*2 bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），
∴a-b-3=0, 9a 3b-3=0，解得：a=1,b=-2.
∴抛物线的函数解析式为：y＝x*2﹣2x﹣3；
（2）∵点C在抛物线上，且点C的横坐标为2，
∴y＝4﹣4﹣3＝﹣3，∴点C的坐标为（2，﹣3），
设直线AC的解析式为：y＝kx b，
∴-k b=0, 2k b=-3，解得：k=-1,b=-1，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣1，
设点P的横坐标为x（﹣1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），
∵点P在点E的上方，
∵﹣1＜0，开口向下，﹣1≤x≤2，
∴当x＝1/2时，PE最大＝9/4；
（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4 √7，0），F4（4﹣√7，0）．
∵A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形
①如图1，四边形AFGC是平行四边形，此时CG∥AF，
∴AF＝CG＝2，∴点F的坐标为（﹣3，0）；
②如图2，四边形AGCF是平行四边形，此时CG∥FA，
∴AF＝CG＝2，
∵点A的坐标为（﹣1，0），∴点F的坐标为（1，0）；
③如图3，四边形ACFG时平行四边形，此时AC∥GF，
此时点C，G两点的纵坐标互为相反数，
故点G的纵坐标为3，且点G在抛物线上，
∴x*2﹣2x﹣3＝3，解得：x1＝1 √7，x2＝1﹣√7（舍去），
∴点G的坐标为（1 √7，3），
∵GF∥AC，
∴设直线GF的解析式为：y＝﹣x h，
∴﹣（1 √7） h＝3，解得：h＝4 √7，
∴直线GH的解析式为：y＝﹣x 4 √7，
∴直线GF与x轴的交点F的坐标为（4 √7，0）；
④如图4，同③可求得点F的坐标为（4﹣√7，0），
综上所述，存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4 √7，0），F4（4﹣√7，0）．
【点评】本题主要考查二次函数与一次函数及平行四边形的综合应用，解决此类的关键是能灵活运用相关知识，第（3）小题中，要注意，根据点G的不同位置，分类讨论求出点F的坐标．
类型2 三定点一动点形成的平行四边形存在性问题
策略：三个平行线交点法
一般利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，利用两点的中点公式进行求解，当四边形只有1个顶点是动点时，我们可以利用已知的三点求出平行四边形的第4个顶点，然后看这个点的坐标是否符合题意；当有两个点是动点时，先设其中的一个动点的坐标为（a，b）在根据这3点的坐标求出第4点的坐标，再把这个点代入它所在直线或者抛物线的解析式中，求出a，b的值。
在解题时一般需要添设辅助线，借助平行四边形的对角线性质，来探究平行四边形的存在性问题就是一个很好的途径。需要注意的是，任意两点的连线可能是四边形的一条边或者对角线，我们需要分情况来讨论。
例2．（2018秋•如皋市校级月考）如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE和AD的长；
（2）求过O、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）若点N在（2）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
