下面我们要确定a的取值范围，依题意，只要环中有9这个数字，则该环中的另外一个数或者另外两个数的和，一定大于等于1，则该环的数字之和一定大于等于10，说明a一定是大于等于10的正整数。从1至9的数字中，分别取两个最小数相加，两个最大数相加，和分别是3，17；分别取三个最小数相加，三个最大数相加，和分别是6，24，说明10≤a≤17。
根据x1 x5 x9=45-2a,x3 x7=45-3a, x2-(x5 x9)=3a-45,可列出不等式方程组。因为1≤x2≤9, 3≤x5 x9≤17,-17≤-(x5 x9) ≤-3,所以-16≤x2-(x5 x9)≤6。于是不等式方程组如下：
解这个不等式方程组，得10.5≤a≤14,a可能的取值为11，12，13，14。接下来，我们按照a的取值分类，去求解满足填数要求的所有方案，如果某个a值分类下，方案为0个，则说明该a值是无效的，应舍弃。
- 当a=11时，代入上面方程组的通解式子，得到，
由通解式子可得，x3=-x7 12，x8=-x9 11,x6=-x7 x9,即x3 x7=12,x8 x9=11,x6=x9-x7＞0。
因为12=3 9=4 8=5 7，11=2 9=3 8=4 7=5 6，所以x7可取3，4，5，7，8，9，x9可取2，3，4，5，6，7，8，9。又因为x9-x7＞0，即x9＞x7，x9可能取4，5，6，7，8，9，并且当x7取8时，x9只能取9，当x7取9时，x9无解，故x7可取3，4，5，7，8。
自由变量x5的取值范围不好确定，只有在x7和x9的取值计算出部分结果后，才能确定。因此我们将通解中与x5有关的量先去掉，得到部分未知数的通解公式如下：
为了方便书写，自由变量系数的矩阵，在右侧注明一下自由变量，解的矩阵，在右侧注明自由变量的取值。如果解是无效的，需要做取舍的时候，则在矩阵的右侧注明舍弃二字，并且用红色显示。
当x7=3,x9=4,代入通解公式，可得到
