注:通常把正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数,正整数和0称为非负整数(也叫做自然数),负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数,则a>0表明a是正数;a<0表明a是负数;a≥0表明a是非负数;a≤0表明a是非正数。
知识点3 数轴
数轴是理解有理数概念与运算的重要工具,数与表示数的图形(如数轴)相结合的思想是学习数学的重要思想。正如华罗庚教授诗云:
数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。
数缺形时少直觉,形少数是难入微。
数形结合百般好,隔裂分家万事非。
切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离!
数与形的第一次联姻——数轴,使数与直线上的点之间建立了对应关系,揭示了数与形的内在联系,并由此成为数形结合的基础。
1.数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
数轴的定义包含三层含义:
(1) 数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;
(2) 数轴有三要素——原点、正方向、单位长度,三者缺一不可;
(3) 原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据实际需要“规定”的(通常取向右为正方向)。
2.数轴的画法:
(1) 画一条直线(一般画成水平的直线)。
(2) 在直线上选取一点为原点,并用这点表示零(在原点下面标上“0”)。
(3) 确定正方向(一般规定向右为正),用箭头表示出来。
(4) 选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1,2,3……;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为-1,-2,-3……
注:
(1) 原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取;
(2) 确定单位长度时,根据实际情况,有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点,从原点向右,依次表示为2,4,6,……;从原点向左,依次表示为-2,-4,-6,……;
3.数轴上的点与有理数的关系:
所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边的点表示,零用原点表示。
4.利用数轴比较有理数的大小:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数。
知识点4 相反数
1.相反数的定义
(1) 相反数的几何定义:在数轴上原点的两旁,到原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数。如,4与-4互为相反数。
(2) 相反数的代数定义:只有符号不同的两个数(除了符号不同以外完全相同),我们说其中一个是另一个的相反数。
2.相反数的性质:
任何一个数都有相反数,而且只有一个。正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0。
0是唯一一个相反数等于本身的数。反之,如果a=-a,那么a一定是0.
3.相反数的特征:
若a与b互为相反数,则a b=0(或a=-b)
若a b=0(或a=-b),则a与b互为相反数。
4.求一个数的相反数的方法:(见书)
5.多重符号的化简
(1) 在一个数的前面添上一个“+”号,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5)=-5。
(2) 在一个数的前面添上一个“-”号,就成为原数的相反数。如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3。
知识点5 绝对值的概念
1.绝对值的几何定义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,数a的绝对值记作“丨a丨”
2.绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
知识点6 有理数大小的比较
正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。
利用数轴,在数轴右边的数永远大于左边的数。
有理数的加减法
有理数的加法
把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。
相加的两个有理数有以下几种情况:
(1)两数都是正数;
(2)两数都是负数;
(3)两数异号,即一个是正数,一个是负数;
(4)一个是正数,一个是0;
(5)一个是负数,一个是0;
(6)两个都是0。
知识点2 有理数加法法则
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
(3)一个数同0相加,仍得这个数。
知识点3 有理数加法的运算定律
(1)加法交换律:a b=b a。
(2)加法结合律:(a b) c=a (b c)。
知识点4 有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数,即a-b=a (-b)。
知识点5 有理数的加减混合运算
1.有理数加减法统一成加法的意义
对于有理数的加减混合运算中的减法,可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。
这样一来,就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式,有时,我们把这样的式子叫做代数和。
2.有理数加减混合运算的方法
(1) 运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。
(2) 运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。