极客数学帮梳理小学数学辅导重点——定义新运算知识点。通过对经典例题的讲解，让同学们全方面掌握定义新运算这类题该怎么做。
定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：
①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
定义新运算
定义新运算是一种特殊设计的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、Δ等，这是与四则运算中的加减乘除不同的。
注意
(1)解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
(2)我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。
(3)新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
例题解析
定义新运算可以作为数学问题，如：
例1、x,y表示两个数,规定新运算"*"及"△"如下:x*y=mx ny,x△y=kxy,其中 m,n,k均为自然数,已知 1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.
分析我们采用分析法,从要求的问题入手,题目要求(1△2)*3的值,首先我们要计算1△2,根据"△"的定义:1△2=k×1×2=2k,由于k的值不知道,所以首先要计算出k的值.k值求出后,1△2的值也就计算出来了,我们设1△2=a.
(1△2)*3=a*3,按"*"的定义: a*3=ma 3n,在只有求出m,n时,我们才能计算a*3的值.因此要计算(1△2)* 3的值,我们就要先求出 k,m,n的值.通过1*2 =5可以求出m,n的值,通过(2*3)△4=64求出 k的值.
解因为1*2=m×1 n×2=m 2n,所以有m 2n=5.又因为m,n均为自然数,所以解出:
①当m=1,n=2时:
(2*3)△4=(1×2 2×3)△4
=8△4=k×8×4=32k
有32k=64,解出k=2.
②当m=3,n=1时:
(2*3)△4=(3×2 1×3)△4
=9△4=k×9×4=36k
所以m=l,n=2,k=2.
(1△2)*3=(2×1×2)*3
=4*3
=1×4 2×3
=10.
例2、假设a ★ b = ( a b )÷ b 。求 8 ★ 5 。
分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8，b代表数字5。
8 ★ 5 = (8 5)÷ 5 = 2.6
例3、如果a◎b=a×b-(a b)。求6◎(9◎2)。
分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。
6◎(9◎2)
=6@9*2-9 2
=6◎7
=6×7-(6 7)
=42-13
=29
例4、如果1Δ3=1 11 111;2Δ5=2 22 222 2222 22222;8Δ2=8 88。
求6Δ5。
分析与解：仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。
6Δ5=6 66 666 6666 66666=74070
例5.设p,q是两个数，规定：pΔq=3×p-[p q]÷ 2，求7Δ[2Δ4]。
分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“Δ”就是一种新的运算符号。
7 Δ 【 2 Δ 4 】
=7 Δ【2×3-[2 4]÷2】
=7 Δ 3
=3×7-[7 3]÷2
=16
练习题
1、将新运算“*”定义为：a*b=(a b)×(a-b).求27*9。
2、设a*b=a2 2b，那么求10*6和5*(2*8)。
3、设a*b=3a-12×b，求(25*12)*(10*5)。
4、设p、q是两个数，规定p△q=4×q-(p q)÷2，求5△(6△4)。
5、设p、q是两个数，规定p△q=p2 (p-q)×2。求30△(5△3)。
6、设M、N是两个数，规定M*N=MN NM，求10*20-1/4。
7、如果1*5=1 11 111 1111 11111，2*4=2 22 222 2222，3*3=3 33 333，…..那么，4*4=?，18*3=?
8、规定a*b=a aa aaa aaa (aaaa……..a),那么8*5=?(b-1)个a
注：(aaaa......a)为(b-1)个a
9、如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么(6*3)÷(2*6)=?。
10、规定：②=1×2×3，③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……..如果1/⑧-1/⑨=1/⑨×A，那么A=?。
11、规定：③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，⑥=5×6×7，…..如果1/⑩ 1/(11)=1/(11)×□，那么□=?。
12、如果1※2=1 2，2※3=2 3 4，.5※6=5 6 7 8 9 10，那么x※3=54中，x=?
13、设a⊙b=3a-2b,已知x⊙(4⊙1)=7求x。
14、对两个整数a和b定义新运算“▽”：a▽b=2a-b(a b)×(a-b)，求6▽4 9▽8。
15、对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：x*y=4xy/(mx 3y)(其中m是一个确定的整数)。如果1*2=1，那么3*12=?
参考答案
1、648
2、112 和65
3、193.25
4、36
5、902
6、2(1/4)
7、4936
8、9872
9、333(2/3)
10、3/7
11、2(1/3)
12、x=17
13、x=9
14、84/85
15、3(3/7)
