我们可以借助实数的四则运算法则来定义复数的四则运算。复数的加减法为(a bi)±(c di)=(a±c) (b d)i
注意到i2=-1，定义复数的乘法为
(a bi)(c di)=ac adi bci bdi2
=(ac-bd (ad bc)i
可以看到，两个复数的乘积为0当且仅当其中一个复数为0，这与实数的情况是一样的。特别称a-bi为a bi的共轭，两个共轭复数的乘积为实数，即
(a bi)(a-bi)=a2 b2
当c和d不同时为零时，令分子分母同乘分母的共轭，定义复数的除法为
(a bi)/(c di)=(ac bd)/(c2 d2) [(bc-ad)/(c2 d2)]i
有了上面的定义，我们就可以求任意二次方程的解了，比如x2-2x 2=0，由韦达公式可以得到两个解为x1=1 i和x2=1-i。
高斯非常认真地研究了复数，他在1801年发表地《算术研究》中考虑了复整数地问题，即复数a bi中a和b均为整数的问题；他考虑了复素数的问题，所谓的复素数是指：不能分解为除±1和±i以外复整数乘积的形式的复数。这样，在实数集合R中的素数在复数集合C中就不一定是复素数了，比如5在实数集合是一个素数，但在复数集合中却可以表示为两个共轭数乘积的形式，即5=(1 2i)(1-2i)，因此，5在C中就不是素数。特别是，高斯证明了我们在《数的性质》一讲中提到的“任何一个整数都可以唯一表示为若干个素数的乘积的形式”这个事实对于复整数也成立，于是，就开辟了今天被称为代数数论的新的研究邻域。
