【题目】
从四边形4个内角取2个求和,共有6个和数,则大于180度的和最多有_____个。(第二十三届“华杯赛”笔试初赛——小学中年级组第10题)
【求解】
假设四边形的4个内角的大小分别为:a, b, c, d,则6个和数分别为:
a b、a c、a d、b c、b d、c d
我们知道:a b c d = 360(四边形的内角和为360度)
所以,把它们加起来,并重新组合:
[(a b) (c d)] [(a c) (b d)] [(a d) (b c)] = 360 360 360 = 1080
假设有超过3个和数大于180度,必然导致上市中某个中括号内的和大于360,矛盾!
所以,大于180度的和最多有3个,分别分布在上面三个中括号中。
现在我们来构建一个这样的三角形,先画一个等腰梯形:
然后延长CD至E,连接AE组成新的四边形ABCE:
和数1:角EAB 角ABC > 角DAB 角ABC = 180度
和数2:角EAB 角AEC = 360 - (角ABC 角BCE) > 180度
和数3:角EAB 角BCE = 360 - (角ABC 角AEC) > 180度
小朋友也可以验算一下其它3个和数,它们都小于180度,不信可以试试:)