记得上小学的时候，曾经碰到过圆周率π的问题，也就是圆的周长与直径之比的问题，那时候老师告诉我们，如果要想计算的的话,对你们来说可能是复杂了点，但是你们可以试验着用尺子量一下周长，再除以直径就可以知道这个比值大约是3.1，这个精度其实在一般的土木工程等日常生产活动已经足够用了。随后老师告诉了我们一个更精确的数值是3.1415926，但是却没有告诉我们是怎么算出来的，因为这种精度的数值绝对不是实际测量得出的结果。
记得那时我曾经琢磨过这个问题，但是怎么也想不出算出圆的周长的方法，觉得那弯弯的弧线的长度真是太神秘了无法计算。
转眼到了高中，记得数学老师说π值是没办法直接计算出来的，因为圆周的周长是无法直接计算的，古希腊的一位大数学家阿基米德给了我们一个思路，就是割圆法或逼近法。所谓的割圆法，就是先在圆外做一个与该圆外切的多边形，计算其的周长，然后再作一个圆的内接多边形，计算其的周长，那么我们就可以知道该圆的周长必定在这外接的多边形周长和内接的多边形周长之间。老师这么一讲我才脑洞大开，原来你不用死脑筋地非得去直接计算那弯弯的曲线的长度，而是用可以计算的多边形的长度来代替。果然天才就是天才，你冥思苦想都没思路的问题，人家一下子就解了，下面我们就用这个方法来试验着计算一下。
作一半径为1的单位圆如上图，则其外接正方形的边长为4*2=8。其内接四方形的一边的边长为图中的斜边AB，它的两个直角边是圆的半径1，所以其长度应为 2^0.5=1.414，那么该内接四形的周长为4*2^0.5 ，于是π值应该为如下范围内：
4*1.414 <2π<8
2.828<π<4
这个范围太大了，还没有达到实测的精度范围，所以还得继续进一步逼近，下面来看看六边形的情形，参考下图，单位圆的半径仍为1时的外接及内接六边形的周长。
因为是六边形所以∠AOB=30°，CD为内接六边形的边长的的一半，其值的大小计算如下：
在三角形中OCD中，因为sin30°=CD/OD
所以 CD=OD*sin30°=1*1/2=1/2=0.5
下面来计算外接六角形的边长的一半的AB的值。
在三角形OAB中，因为tan60°=AB/OA
所以AB=OA*tan30°=1*tan30°=3^0.5/3=0.57735
内接六边形的周长为：12*0.5=6 与直径的比值：6/2=3
外接六边形的周长为：12*0.57735=6.9282 与直径的比值：6.9282/2=3.34641
那么结论是π的范围如下：3<π<3.34641
虽然比四边形进步了许多但是仍然没有达到实际测量的精度，看来要想获得更加精确的圆周率就得继续计算八边形，十边形……，笔者的脑子计算到六边形时就发晕了，看来在没有计算机的时代要想计算出精确的π值真是件不容易的事。
但是阿基米德可比笔者厉害多了，据说算到了96边形，得出π的值域范围是3.141<π<3.142，完全正确，因为真值是3.1416……，不过当时人们还不知道。
要知道这是在公元前276年左右，既没有电脑也没有计算器，也没有阿拉伯数字甚至连纸张都没有的时代计算出来的，也就是意味着上述计算中开方计算都得用手工逐一计算出来的，真是难以想象的聪明，古希腊人。怪不得历史学家评论道：古希腊人的所成就的一切无不让现代人惊叹不已！
300多年后，公元150年左右，还是希腊人，亚历山大的天文学家托勒密按照这个方法又向前推进了一位，算出了π=3.1416。
200多年后，公元420年左右，我国的祖冲之也是采用割圆术（不过是独自考案的，因为他没法读到希腊人的著作），将圆周率的精度大幅地提高了四位数。
他的结果是3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927。
这个光荣的记录保持了近9个多世纪，直至公元1424年，阿拉伯数学家卡西才突破了这个记录，他在《圆周论》这本书中，仍然是采用阿基米德首创的内接与外接正多边形的方法，得出的值是π=3.14159265358979325，又把该值的精度一下子向前推进了10位。
300年后的17世纪初，德国人鲁道夫几乎一生都在研究计算圆周率的问题，他把π值计算到了35位。采用的方法仍旧是阿基米德所开创的逼近法，不过多边形的边数已经达到了惊人的几百条以上，至此已经达到采用该方法手工计算的的极限，也标志着如果采用此法进行手工计算，即使你一生不停地在计算，其位数之多也只能算到35位左右。
但是鲁道夫的运气实在太差，他35位的记录创立的同时，与他同时代的英国数学家梅钦就发现了一种与阿基米德不同的崭新计算方法，也就是所谓的无穷级数法，而且该法还可以仅仅进行少量的计算就可以得到精度很高的π值，术语就是收敛的很快，1706年梅钦采用如下的公式计算，一举把圆周率的位数算到了小数点后100位，这是采用逼近法无法达到的精度。梅钦的公式如下：
公式中的反函数值是利用无穷级数展开计算的。
1844年，数学家达赛利对上述公式进了进一步改进后把圆周率计算到了小数点后200位。
1873年，数学家谢克斯利利用梅钦法花费了20年的时间将圆周率计算到了小数点后707位。
1948年，英国数学家佛格森和美国数学家仑奇共同计算，把圆周率计算到了小数点后第808位。至此已经达到利用无穷级数法计算的极限，因为如果你要想突破这个精度的话，可能将消耗你毕生的时间。
但是，随着技术领域的飞跃性的进步，1946年世界上第一台电子计算机在美国的出现了，手工计算π值的时代不久就宣告结束了（当时计算机还在秘密地用于弹道计算方面）。在计算机出现后的第三年，也就是1949年，美国数学家利用梅钦公式在第一台计算机ENIAC上把π值计算到了小数点后的第2035位，所需的时间仅为70小时，这还包括了准备和打印的时间。
从此以后把π值计算到多少位的竞赛宣告结束，或者已经没有多大的意义，问题的重点已经转移到了如何才能找到收敛更快的计算公式这一问题上。因为人们发现不同的公式的收敛速度相差甚远，这一点在计算机计算显得尤为突出。就像在手工计算时不同的方法所导致计算速度不同一样，如果采用相同运算速度的计算机，那么采用收敛速度快的公式必胜无疑，所以寻找收敛速度更快的公式成了现代数学家的一个新的问题。
令人惊奇的是当今世界上收敛速度最快的计算公式是由印度的天才数学家，据说可以与欧几里得与阿基米德相提并论的拉马努金发现的，而且还是拉马努金在上个世纪二十年代计算机尚未出现时就发现了这个快速收敛的公式，这个公式的收敛速度快得惊人，只要第一步计算你就可以达到祖冲之所达到精度，也就是前人花费了1000多年才达到的成就。而且每计算一次就可以获得8位有效数字，如果采用此公式来计算的话，只需要计算几天时间，就可以得出相当于之前德国人鲁道夫花费一生时间才得出的结果，正因为该公式惊人的收敛速度，所以现代计算机均采用拉马努金公式及其改进公式来计算π值。难怪有人说拉马努金是属于1000年才能出现一次级别的天才数学家，笔者看到此文，不禁动起了想看看这个公式到底是模样的念头，在网上一扫荡了一阵子后，终于找到了这个神奇的公式。
