无限循环小数算无理数还是有理数,有规律的循环小数算不算有理数

首页 > 教育 > 作者:YD1662024-06-25 04:15:33

很多朋友都知道实数轴上的数字分为有理数和无理数,其中有理数是可以表示为分数的数字,其余则为无理数。

无限循环小数算无理数还是有理数,有规律的循环小数算不算有理数(1)

当有理数的表达式中的分子分母无法整除时,有理数就变成了小数。而小数则分为有限小数和无限小数,无限小数又分为无限循环小数与无限不循环小数,其中有限小数和无限循环小数属于有理数,无限不循环小数属于无理数。

无限循环小数算无理数还是有理数,有规律的循环小数算不算有理数(2)

我们对0.123123123…做一个变形,如下:

无限循环小数算无理数还是有理数,有规律的循环小数算不算有理数(3)

即,这个无限循环小数可以表达为下面这种级数形式:

无限循环小数算无理数还是有理数,有规律的循环小数算不算有理数(4)

无论用级数的知识,或者用等比数列和极限的方法,都可以找到上面这个式子的最终结果。本文采用更为“普及”的等比数列与极限方法:根据上面的表达式,0.123123123…可以看做是以0.123为首项,以1/1000为公比的等比数列求和项的极限。这个等比数列的前n项和,以及其极限如下:

无限循环小数算无理数还是有理数,有规律的循环小数算不算有理数(5)

由此可以看到0.123123123…的分数表达为41/333,是有理数。那么更一般的无限循环小数呢,其实都一样,只是叙述的时候式子略微复杂一些而已。

那么,为什么说无理数比有理数多呢?

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知名度排第一的无理数

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