很多朋友都知道实数轴上的数字分为有理数和无理数,其中有理数是可以表示为分数的数字,其余则为无理数。
当有理数的表达式中的分子分母无法整除时,有理数就变成了小数。而小数则分为有限小数和无限小数,无限小数又分为无限循环小数与无限不循环小数,其中有限小数和无限循环小数属于有理数,无限不循环小数属于无理数。
无限循环小数,比如0.123123123…,为什么就是有理数呢?
如果0.123123123…是有理数,那么他的分数形式是什么?如果不能写成分数形式,凭什么说他是有理数?
我们对0.123123123…做一个变形,如下:
即,这个无限循环小数可以表达为下面这种级数形式:
无论用级数的知识,或者用等比数列和极限的方法,都可以找到上面这个式子的最终结果。本文采用更为“普及”的等比数列与极限方法:根据上面的表达式,0.123123123…可以看做是以0.123为首项,以1/1000为公比的等比数列求和项的极限。这个等比数列的前n项和,以及其极限如下:
由此可以看到0.123123123…的分数表达为41/333,是有理数。那么更一般的无限循环小数呢,其实都一样,只是叙述的时候式子略微复杂一些而已。
那么,为什么说无理数比有理数多呢?
知名度排第一的无理数