- 提起对称性，人们自然会想起生活中见到的各种对称性，例如：足球和蓝球那样完全对称的球体，或者冰晶的雪花，或者北京故宫对称的殿宇布局，等等。自然界或生活中的各种物体的对称性，大抵从外表上看起来，左半部和右半部是完全一样的，如以中线为轴，把右半部翻折180度过来，会和左半部完全吻合。正因此，德国数学家外尔教授（1885—1955）给出对称性一个定义：意思是如果有一件东西，你有可能对它做某种操作，使得你完成了操作之后，它看起来同以前是一样的，那么那件东西就是对称的。这就是我们说的物理学定律是对称的意思。由于科学家对物理定律变换后的不变性有一种感觉，非常接近于物体对称性的那种感觉，于是，他们就称呼那是物理学定律的对称性。
- 几种典型的对称性——空间平移；时间迁移（延迟）；对于固定点的空间转动；以均匀的速度沿着一条直线运动（相对性原理）；空间中反射（镜像）等五种对称性。
2.1 空间平移对称性。同样的仪器设备做同样的任何一种实验，从空间中的一个地方A迁移到另一个地方B去，那么在搬迁了的B实验室里将会发生在A原来的那一实验室里本来会发生的同样事情。例如：引力定律。两个物体间的引力与两者之间的距离的平方成反比，“两者之间的距离”是相对距离而不是距离某点的绝对距离。因此，只要两者的相对距离不变，那么不管两物在此处或别处，引力都不会改变。这就意味着可以在空间中迁移。
2.2 时间迁移或延迟对称性。例如：我们让一颗行星在某一个方向上开始环绕着太阳运行。假设我们能够在2小时之后或者在两年之后，在另一个起始点上一切从头再来，而行星和太阳仍会以完全一样的方式运行。因为引力定律谈到的也是速度，而绝不是我们假设来开始测量事物的绝对时间。尽管引力常数G有随着时间变化的可能性，但就我们今天的所知而言，时间上的迁移或延迟不会对物理定理导致差别。
2.3 围绕空间固定点转动的对称性。如果我们用装设在某个位置的一件仪器做某些实验。然后，另一个人再拿另一件完全相同的仪器逆时针或顺时针转过一定角度做同样的实验。结果表明，它会以同样的方式工作。若用某些字母写出方程，转动过后，把字母从X和Y变换到一个不同的X，即X带一撇，以及一个不同的Y，即Y带一撇，你得到的方程看起来与原来的用X、Y表示的方程是一样的。差别仅在于原来没有撇的坐标都加上了撇。这正意味着另一个人在他的仪器里看到的情况将与我在我自已的仪器里所看到的情况相同。而他的仪器是已经转过了一个角度的。 这也说明了转动不会导致物理定律的改变。
2.4以均匀的速度沿着一条直线运动的对称性。如果我们有一艘宇宙飞船，在它里面我们有一台仪器在做着实验，而且我们有另一台相同的仪器装设在地面上做着同样的实验。如果宇宙飞船以均匀的速度运动，里面有一个人守候着他的仪器，那么他在仪器里能够看得到的实验情况同在地面上静止不动的我在我的仪器上能够看得到的情况没有什么不同，即物理定律是不改变的，这叫做相对性原理。
实事上，就是不论在宇宙飞船里还是在地面上做实验，实验的任何效应都不可能确定宇宙飞船是否相对于地面在运动着，当然，也无法确定均匀速度的大小。这条对称性是十分有趣的。因为它能引出所有对称性类型的结果，而且这些结果还能推广到我们还不知道的那些定律。对于这条对称性，我们要明白，相对性原理只是针对沿着直线作匀速运动的情况，而以均匀角速度做自转的情况是不适应的。
2.5空间中反射的近似对称性。空间中的反射，亦称“宇称”，可以通俗地理解为左右对称或镜像对称。例如：在A处建造了一具时钟，然后，在一段短距离之外B处，再建造另一具时钟，它是A处时钟的镜像。这两具时钟就像一双手套的左右手一样，一具时钟的发条朝一个方向拧紧而另一具朝相反的方向拧紧，如此等等。上好两具时钟的发条，把它们放在相应的位置上，然后让它们滴答滴答地走动。两具时钟的运转方式是一样的。
抛开地理环境因素，你是无法分出左和右的。因为你站的方向不同，就会得出不同的左和右。事实上，自然界有99.99%的现象是不能够区分左和右的，而只有那么一小块区域，一类微小的特征现象是完全不同的，它是绝对不对称的。即诺贝尔奖得主李政道和杨振宁两位教授提出的：在弱力作用下，宇称不守恒定律。这是自然界的一个奥秘，目前还没有谁能对此想出一点点线索来。
3、对称性背后的守恒定律。1918年，德国数学家艾米●诺特首次提出了连续对称性和守恒定律间的一、一对应关系，被称为“诺特定理”。即空间平移对应于动量守恒定律；时间迁移对应于能量守恒定律；空间旋转对应于角动量守恒定律。1926年，对于微观世界又有人提出了宇称守恒定律（除弱力外）。诺特定理是建立在哈密顿最小作用原理之上的普遍定理。
4、对称性的数学表达。物理定律的对称性其实也意味着物理定理在各种变换条件下的不变性。由物理定律不变性，我们可以得到一种不变的物理量，叫守恒量或不变量。在数学上，若P为正交矩阵，则线性变换Y=PX称为正交变换。如用∥X∥表示向量的长度，则有∥Y∥=∥X∥，这说明经正交变换后，线段长度保持不变。这正是正交变换的优良特性。如此，我们可以认为各种对称性变换相当于物理定律的一个正交变换，其实质并没有改变。例如：爱因斯坦的狭义相对论，其洛伦兹变换就是一个四阶正交复矩阵变换 ，这说明一个惯性系相对于另一个惯性系作匀速直线运动时物理定律没有改变。
5、近代微生物学之父巴斯德曾经说过：“生命向我们显示的乃是宇宙不对称的功能。宇宙是不对称的，生命受不对称作用支配。”正是不对称，才有了丰富多彩的大千世界。从这个意义上讲，对称性也只是人们的一种宏观认知而已。
参考文献：1）《物理定律的本性》［美］费曼著 ；2）《线性代数》同济大学编。
