图2. 同庞加莱圆盘的边界正交的圆的弧是庞加莱圆盘上的直线
庞加莱圆盘的研究启发了数学家以及数学家以外的思考几何的人们。受庞加莱圆盘问题的启发，荷兰版画家埃舍尔（M.C. Escher，1898 –1972）1958年一口气创作了四幅名为“圆的极限”的版画作品，为庞加莱圆盘铺排问题的一个绝妙的艺术体现（图3）。
图3. 庞加莱圆盘。中图为埃舍尔版画作品“圆的极限”之三，右图为庞加莱圆盘的6-4-2三角铺排。
庞加莱是数学家，自然地，针对物理他首先关注天体物理这个作为物理学起源的问题。通过万有引力相互作用的两体问题有严格的解析解，自然人们想把这个问题推广到三体问题甚至n-体问题 (n是个小的自然数)。1887年，瑞典国王奥斯卡二世悬赏征求三体问题的解，最后该奖授予了庞加莱。庞加莱没有解决三体问题，甚至他的论文还包含许多错误，但是，庞加莱的论文开启了天体物理的新时代。庞加莱在论文中首次提出了存在混沌运动的概念。混沌（chaos），指一种对初始条件极度敏感的动力学行为。混动理论如今已经成为了一个重要的数学分支，并渗透到物理、化学、社会学等多门学科。
庞加莱对物理学的重大贡献，体现在他是量子力学和相对论非同寻常的奠基人上。
4a). 量子力学。庞加莱对量子力学的重要贡献，是他于1912年证明了能量量子化是得到普朗克黑体辐射公式的充分必要条件。庞加莱的这个工作，为自1900年普朗克用能量量子化假设，即一定频率的光其能量为ћν的整数倍，得到黑体辐射后物理学家们理解（摆脱）量子概念的努力划上了句号。实际上，普朗克一直在努力要证明能量量子化是没必要的，如果不是错的，甚至为此得到了零点能等重要概念。直到庞加莱的这个数学证明出来，普朗克才消停了，而不是如一般量子力学文献所述到了爱因斯坦1905年用能量量子化解释了光电效应的实验结果就消停了。庞加莱此一工作在众多的量子力学教科书中未见有提及。笔者再次重申，从理论严谨性的角度来看，庞加莱的这个论证是不可或缺的，否则能量量子化一直就是个让人（普朗克）无法放心的假设。这个证明，是普朗克、爱因斯坦这种数学水平的人不可能完成的任务。从实用的角度来看，它是通往量子统计和固体量子论的桥梁，懂得这个道理后更加容易理解量子统计。爱因斯坦、埃伦费斯特等人在庞加莱此工作的基础上很快发展出了固体量子论。
