碰到[9]。就简单性来说，这个公式最接近维恩的结果（an Einfachheit am nächsten kommt）。普朗克接受这个推导的出发点，是因为这样的辐射与振子构成的体系之熵产生为正，这符合热力学的要求。这只算是有了这个公式，是个具有形式意义的、瞎猜得到的公式 （glücklich erratenes Gesetz doch nur eine formale Bedeutung）。关于普朗克这瞎猜的功夫，派斯（Abraham Pais, 1918-2000）在爱因斯坦传记 Sutle is the Lord一书中大为赞赏：“His reasoning was mad, but his madness has that divine quality that only the greatest transitional figures can bring to science. It cast Planck, conservative by inclination, into the role of a reluctant revolutionary（他的论证是疯狂的，但是他的疯狂有那种只有伟大的传统人物能带给科学的神性。这赋予了普朗克，一个保守倾向的人，勉强的革命家的角色）”。然而，按爱因斯坦1916年的说法，普朗克的推导是史无前例的胆大妄为（Seine Ableitung war von beispielloser Kühnheit）。
关于那天的推导过程，普朗克自己有非常客观的评价。Im Verfolg dieses Gedankens, bin ich schliesslich dahin gekommen, ganz willkürlich Ausdrücke für die Entropie zu construiren, Unter den so aufgestellten Ausdrücken ist mir nun einer besonders aufgefallen, … Es ist bei Weitem der einfachste unter allen Ausdrücken, welche S als logarithmische Function von U liefern …（顺着这些想法，我最后决定，完全随意地构造熵的表达……，在诸多表达中，这个提供了S是U的指数函数的公式最简单）。看到普朗克这么实在，笔者都笑得差点岔气了。看如今的物理论文，时常能遇到装蒜的货儿，自己根本没有本事写一篇唯一作者的文章，却在事后拿着很多别人凑出的文章编造自己的英明。
在普朗克的黑体辐射研究报道中，会提及辐射的振子。振子，什么振子？我当年学习相关内容就一直弄不懂这振子哪来的，不是说好的空腔辐射（Hohlraumstrahlung）吗？关于振子，普朗克一开始用的是Resonator，后来改用Oszillator，再以后连炭粉（Kohlenstäubchen）都出来了。为什么会引入振子呢？振子是用来Ermitteln（中介）辐射分布的，让辐射现形的。这就是probe for theory. Die Theorie braucht ermittelt zu sein（理论需要被中介）。关于普朗克引入振子概念及用词的变更，库恩有详细的讨论（见Thomas Kuhn，1978）。后面我们还会回到这个话题。
普朗克黑体辐射谱分布公式的意义之一，是带出来了一个物理学基本常数 h，后来被命名为普朗克常数。拥有一个自己名字命名的普适常数估计会让人感到很孤独（玻尔兹曼常数是普朗克在1900年这篇文章引入的，其预期功效只是使得频率以能量的量纲被带入）。所以当1905年爱因斯坦把光速也弄成了普适常数时，普朗克觉得h算是有了伴儿了。普朗克和爱因斯坦一直惺惺相惜，是分量相称的朋友。应该说，普朗克是爱因斯坦从学术角度也觉得值得尊重的一个人，其他的和爱因斯坦能聊得起来的包括薛定谔、玻恩和泡利，后来有奥地利人哥德尔。一般文献中会把爱因斯坦说成是普朗克的被保护人（Protegé）。从地位上说是这样，1905-1906年的爱因斯坦只是个科学圈外的专利局职员，而普朗克是科学界的柏林圈内的大教授。然而，认为普朗克是爱因斯坦学术上的保护人就有点想当然了。愚以为，虽然普朗克认可爱因斯坦1905年发表的相对论，1906-1907年率先进入相对论研究
命性概念的人。但是，笔者发现事实很打脸，普朗克从来都是一个保守的人。革命没有那么容易。一个频率上的振子们所分配到的能量为E，与其对应的能量单元ε，关系式为P=E/ε， 即能量包含P个能量单元。但是，普朗克没有理由认为P是个整数，而是他不得不使用整数，要不怎么接着玩排列组合呢？{我发现艾伦菲斯特、德拜、玻色这些大神可没这些顾忌，连微分小量都敢拿过来做排列组合运算，见下文。好的物理学家都是李逵式人物，遇到问题先提着板斧砍*过去再说}在原文中，普朗克是这样写的: “如果P=E/ε计算得到的商不是整数，P可以取近似的整数（wenn der so berechnete Quotient keine ganze Zahl ist, so nehme man für P eine in der Nhe gelegene ganze Zahl）”。也就是说，普朗克采用的是取整的算法，用今天的数学记号，是P=[E/ε] ，至少在这一步上他没有迈出革命的一步，故而有“普朗克半推半就的量子化处置（halbherzige Auffassung der Energiequantisierung à la Planck）”的说法。所谓的P=[E/ε]，就算是P=E/ε，对于普朗克来说那也就是着急忙慌中不得已引入的抓手（Notbehelf，erzwungenermaßen eingeführt），而非什么革命的思想。所谓普朗克是Revolutionär wider Willen（违背意愿的革命家），我猜是说，别人说普朗克是革命者，这违背了普朗克自身的意愿。赵匡胤黄袍加身的感觉哈（附加图1）。
附加图1. 赵匡胤黄袍加身。这幅图上的赵匡胤看似有点儿不情愿。
德语文献中还时常提及普朗克的绝望行动（Akt der Verzweiflung），派斯的英文版爱因斯坦传记在p.371上提到了普朗克的desperate act，正可相互印证。这让笔者很纳闷。普朗克听完Rubens聊黑体辐射的实验结果，当天晚上就得到了正确的表达式。即便为了找到更强的理论根据，那第二个、基于统计物理的推导也用时不足俩月（两篇文章的跨度为从1900.10.19到1900.12.14），何来绝望一说？难道绝望应该指的是他后来理解为什么光量子hν会导致正确的黑体辐射公式一事？光量子是普朗克公式成立的充分必要条件，这个问题是庞加莱1912年解决的。
一般热力学、统计物理或者量子力学介绍黑体辐射到此就为止了。普朗克的能量量子概念带来了物理学革命，然后就是量子力学的事儿了。事实是，普朗克公式的出现根本不是黑体辐射问题的了结，它只是一个new era of blackbody radiation 的开始。
必须指出，普朗克不是用数学函数去拟合（fit）人家的实验曲线, 也不是拿实验曲线去同人家的理论凑合（appeal to），用普朗克自己的话说，他用的是die von mir entwickelte elektromagnetische Theorie der Strahlung（俺自己发展起来的电磁辐射理论）。一个物理学家一生中若有一次可以这样说话，那他就真是一个物理学家了。
普朗克1900、1901年的Notbehelf在物理学界应该引起了轰动，Kurlbaum在普朗克公式报告4天后就算出了个h=6.55×10^（-34）J·s数值来，并称之为普朗克常数。然而，普朗克接下来直到1906年都是在忙乎他的《热力学教程》。在1906-1907年普朗克在相对论方向的研究取得了不俗的成就，尤其是腔体辐射的质量问题，这联系着质能关系，见下文。关于普朗克的心理路程，超出本文的范围了，请参阅库恩的Black-body theory and the Quantum discontinuity 1894-1912。库恩的这本书虽然也招来了一些负面评价，但毕竟比他那不着调的《科学革命的结构》有价值多了。物理学里没有革命，如果你看到了革命，那是因为你知道的少。库恩如果知道马赫的这句话，可能就不会写那本流传甚广的书了。
1911年底，普朗克发表了论文[Max Planck, Über die Begründung des Gesetzes der schwarzen Strahlung（黑体辐射定律的论证）, Annalen der Physik 37, 642-656(1912)]，在一个新的振子发射机理的基础上，普朗克再次得到了黑体辐射公式，这是普朗克自己的第三种黑体辐射公式推导方式，也是继爱因斯坦在1906年、1907年和1910年，洛伦兹在1908年，德拜在1910年，艾伦菲斯特在1911年的各种花式推导黑体辐射公式后的新尝试。这篇文章绝对是物理学史上里程碑式的存在。在这篇文章中，普朗克不仅再次如愿以偿地得到了黑体辐射公式，关键是他还第一次使用了对应原理，还第一次导出了振子的零点能（普朗克称之为能量残余，Energierest），½hν 。在一篇文章中完成了物理学概念层面上的一箭三雕，这应该算是绝无仅有的了，我不知道物理史上还有哪个单篇有如此高的成就。
