——它将实数集从繁杂的构造理论中解脱出来
在利用有理数构造实数的工作完成以前，绝不能够随随便便的说 “实数” 是什么东西；但是现在既然我们已经知道利用有理数可以构造实数集了，我们就可以反过了，看一看能不能先定义实数，再把有理数、整数等等概念当成 “特殊情况” 来处理。这当然是一件理论价值大于实际意义的事情了，不过你很快就会看到，这样可以把实数集从繁杂的构造理论中解脱出来，并能够让我们更好的把握实数集的性质。
实数公理系统，也就是将实数之前的自然数、有理数等概念刨去不提，直接由 “数” 这个概念对实数集进行了定义。一般把这里的 “数” 看成是存在着四则运算和序关系的集合中的元素。还有 “=” 等于关系，可以理解为就是 “同为一个事物”，也不再单独定义。
实数公理：
(I) 域公理
对任意的 ,∈a,b∈R，有 R 中惟一的元素 a b 与惟一的元素 ⋅a⋅b 分别与之对应，依次称为 ,a,b 的和与积，满足：
1.（交换律） 对任意 ,∈a,b∈R，有 = a b=b a，⋅=⋅a⋅b=b⋅a。
2.（结合律） 对任意 ,,∈a,b,c∈R，有 ( )=( ) a (b c)=(a b) c，⋅(⋅)=(⋅)⋅a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c。
3.（分配律） 对任意 ,,∈a,b,c∈R，有 ( )⋅=⋅ ⋅(a b)⋅c=a⋅c b⋅c。
4.（单位元） 存在 R 中两个不同的元素，记为 0,10,1 分别称为加法单位元与乘法单位元，使对所有的 ∈a∈R，有 0=a 0=a，⋅1=a⋅1=a。
5.（逆元） 对每个 ∈a∈R，存在 R 中惟一的元素，记为 −−a，称为加法逆元；对每个 ∈−{0}a∈R−{0}，存在 R 中惟一的元素，记为 −1a−1，称为乘法逆元，使 (−)=0a (−a)=0，⋅−1=1a⋅a−1=1。
(II) 序公理
在任意两个元素 ,∈a,b∈R 之间存在一种关系，记为 >>，使对任意 ,,∈a,b,c∈R，满足：
1.（三歧性） >,>,=a>b,b>a,a=b 三种关系中必有一个且仅有一个成立。
2.（传递性） 若 >a>b 且 >b>c 则 >a>c。
3.（与运算的相容性） 若 >a>b，则 > a c>b c；若 >,>0a>b,c>0 则 ⋅>⋅a⋅c>b⋅c。
(III) 阿基米德公理
对任意 ,∈,>0a,b∈R,a>0 存在正整数 n，使 ⋅>n⋅a>b。
(IV) 完备性公理
R中的任何基本数列都在 R 中收敛。
以上是实数公理的一种形式，当然也会有其他的一些形式，不过它们的本质都是一样的。这组公理看起来十分繁杂紊乱，不过只要我们仔细分析一下这组公理的结构，就会知道其中的每一条都是不可或缺而且恰到好处的。总之，记住一句话：实数公理系统的意义，就是告诉我们什么是我们心目中认为的实数集合的模样。
首先的两组公理，是（I）域公理和（II）序公理
第一组公理，约束了定义在实数集合上的四则运算，其中 1-3 是加法乘法运算律，4是对于四则运算中非常关键的两个数 0（加法不变元）和 1（乘法不变元）的存在性要求，5 相当于是对于减法和除法的规定。之所以称有关于四则运算的公理为域公理，自然是因为这组公理决定了实数集的一个重要属性：实数集是一个数域，或者简单一点说，是一个域。
第二组的序公理，则详细约束了实数集上的大小关系，虽然看起来高深莫测，实际上无非是使这样定义出来的 “>>” 关系符合我们的直觉，不会出现荒谬的结果。第二组公理，同样也揭示了实数集的一个重要属性：实数集是一个有序集。相反的，我们可以容易的制造出了一个不是有序集的集合，这说明有序这一属性，对于实数集来说也是很重要的。还有另外一个看起来很奇怪的（III）阿基米德公理，讲的是说给定任意两个正实数a和b，无论a多么小，b多么大，我们都可以通过把a叠加很多次的办法，使得叠加以后得到的数比b大。这看起来似乎是一个十分微不足道的性质，甚至好像是有点显而易见的。通常情况下，称满足阿基米德公理的集合是具有阿基米德性质的，因而（I）（II）（III）三条公理告诉我们，实数集是一个具有阿基米德性质的有序域。
但是有理数集也恰好满足这三组公理； 也就是说，有理数集也同样是一个具有阿基米德性质的有序域。这说明实数集真正特殊之处，并不在此。那么实数集究竟特殊在哪儿呢？实数公理中还有关键的一条（IV）完备性公理，它告诉我们，R中所有的基本数列都一定收敛在R里面。而这一点有理数集恰好做不到。可以说，这就是实数系之所以成为实数系的原因，也是实数系最重要的一个标志。
经过以上的一番分析，实数公理的要点就是：
引理：有理数集Q是一个具有阿基米德性质的有序域。
实数公理（改写后）：设一个集合 R 是从有理数集 Q 拓展而来的一个集合（也就是说，⊂Q⊂R，并且 Q 上的运算和序关系也推广到了集合 R 中），并且 R 比 Q 还多具有完备性这一性质，那么我们就称R是实数集。
现在，之前有关于实数理论的大半疑惑已经消释了。数学家们苦心孤诣的利用有理数集构造实数集，就是为了让新的集合具有完备性；而在有理数集的基础上具有了完备性的集合，正是所期望得到的实数集。如果把无穷不循环小数看成是一个利用有理数（具体的说，是有限小数）逼近的过程，比如
=(3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,……)π=(3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,……)
那么实数集的必要性质，就是它可以把所有这样的逼近过程之结果（也就是无理数）都囊括其中，而这用数学语言来说，就是所谓的完备性。完备性正如它的名字所言，它反映了实数集已经将所有我们能够制造出来并且真实存在的数（度量）都囊括其中，无论是有限位的，还是可以表示成两个整数之比的。
还是不能表示成任何有理数的，都没有漏下。
这里仍然把实数集R看成是有理数集Q的衍生物，不过实际上，也可以把Q的意义舍去，而把R看成一座 “拔地而起” 的高楼大厦。这正是利用有理数集构造实数集的理论，本质上来说也是一种公理系统（最底层的是关于自然数的公理，再往上是利用自然数构造有理数，最后是利用有理数构造实数），这种方法虽然仅依靠着比实数公理简单很多的公理就可以成立，并且更加真切的反映了由简单到繁密的通常过程；但通过一组完善的公理来定义的实数集，在逻辑上则似乎更加简明，也更加站得住脚。
实数是一个能够涵盖所有可以操作实现的数的 “集大成者”。但是这一条描述是十分抽象的，从某种意义上来说不具有操作性，有点 “晦涩”。实数公理反映了人们对于客观存在的数量的最细致的理解，这些公理是独立（没有描述重复的内容）而且相容（不会产生矛盾）的，它是约束什么可以被称为“数”的最高准则。
这里先将下面将要介绍的几条实数定理的相关链接列出来：Dedekind 定理、确界原理、闭区间套定理、单调有界定理、上下极限定理、Cauchy 收敛准则、列紧性定理、有限覆盖定理、聚点定理、完备性公理。其中上下极限定理的说法不太常见，所以没有找到相关链接。完备性公理已经讨论过，因此不再重实数的连续性。
还记得有些人曾经归纳出来的实数集的三条特性吗？它们是不可数性、连续性、完备性。其中，不可数性代表了实数集的“多少”，但是它反映了是实数集的一种内蕴特征（或者说微观特征）—— 例如，我们把实数轴割成两半(注：怎么分为两半？应分为两个层面），那么其中的每一段上的数，仍然是不可数的。因而不可数性，反映的是实数集带有的一种 “结构特征”，它对组成实数系的一些 “单元” 也成立。
连续性表明了实数集合的一种形式上的性质，它表明实数集合中没有空隙，不会再因为任何原因而从中出现像有理数集中的 “√2” 那样的 “网眼”，连续性使人知道实数是一个看起来完美的集合（实际上也很完美）。而实数集的完备性，则体现出实数集的本质：它已经将所有应该收纳的内容囊括其中，不能再添加新的元素了。它是我们生活中所能接触到的一切数的总集合。相比于前两条性质，完备性才是说明实数之所以被人们成为实数的原因，也告诉数学家什么样的集合才是实数集。因此，完备性这条性质，可以说是实数集的核心性质。
那么，连续性和完备性之间有没有什么关系呢？这就值得好好思考了。回想一下，连续性说的是实数没有空隙的性质，而完备性说的是实数集容纳一切的性质；那么，我把所有的空隙填上，不就等于让新的集合容纳一切了吗？这样看起来，似乎连续性和完备性，说的就是同一件事情。
和完备性不同，连续性似乎没有一个能够比较容易说清楚的方式。关于完备性，前文提到的 Hilbert 形式的完备性公理，应该已经非常简单明白了：它的意思就是说，实数集就是所有具有阿基米德性质的有序域中最大的一个，不能再大了，所以说它完备了。连续性能不能也像这样比较简单而又完整的表述出来呢？连续性说的是，“实数集中没有空隙”，也就是说如果不限定用数学语言描述，那就是
连续性公理：实数集 R 没有空隙。（？？？）(注∶以上的这个证明非常的滥竽充数，另外也不太严肃)
总之，只要认识到连续性就是阿基米德性质和完备性的综合，就已经足够了；事实上，在下面更多讨论的，是连续性和完备性，而且也不会碰到不满足阿基米德性质的集合，因此只要在阿基米德有序域中这两条性质是等价的，就无所谓了。以下部分中，将把完备性和连续性看成等价的概念。
从某种意义上来说，阿基米德性质反映的是一个集合的形态应当与直线上的点的形态相似，它们可以按顺序排开，并且既没有最大元有没有最小元 。有理数集和实数集都可以做到；而完备性则是反映一个集合的没有空隙 。 有理数集做不到，而实数集能够做到。总体概括起来，就是反映出一个集合能够与直线上的点一一对应起来，这也正是连续性的最简单的解释。(注：这样就将有理数从实数集踢除；让实数定理变成仅仅是无理数定理。不知若不含有理数？实数还是实数吗？)
实数集公理，也就是是说实数集具有这样的不证自明的性质一定满足，是否可以说实数集公理是必要条件？
请问用公理法定义实数，如何定义任何一个正实数的任意实指数幂？如何定义以任何正实数为底，任意正实数的对数？
无理数是无理式的数值，这些无理式基本表现为两大类：一是分数无理式；二是根号无理式。当然也有些是“混合”无理式，即包含有理式与(分式、根式)“两种”无理式的交叉与混合式。
一类：分式无理数
分式无理数也就是无理分数。一般能用分数来表达，只是分数值不能化为有限小数或“无限循环小数”。无理数就是那些“无限不循环小数”；是无法用整数和小数完整地精确表达的特殊数值。
在众多的分数中一定有小部分的分数的是无理分数。但要判断一个分数值是不是无理数，并不容易。这涉及到一个分数的分子能不能被分母除尽的问题。
所以，分数的运算，实际是除式的运算。分数、分数无理式都是不能整除，除不断、有余数的一种商值的表达。对于许多分数，因人们并未能无限地运算下去，是不是无限小数？是不是有“循环数节”？也无法知晓。
然而人们对于无限小数是不是“循环小数”的规律也缺乏深入探讨；于是有人认为，若分子与分母均为素数的分数值即为无理数。这就涉及到素数的定义与判断。于是，就有“数论”对素数的研究、探讨与“猜想”。 其实，将素数除素数的分数值定义为无理数，也是不通行的。
例如7÷5=7/5=1.4，就不是无理数；而5/7=0.71428…则有可能是无理数。
是不是无理分数，这就要看演算到小数点后多少数，是不是有明确结果。如果计算到小数点后面十位数时仍未发现“循环数节”，那就大概率的是“无理分数”了。
所以，但凡化简后的代数分式，因未代入代数值，无法判定是不是“有限”而又“循环”的小数；因此，代数分式即然不可用分数表达出来；那这代数分式，就被看作(假定为)是代数无理式。 在运算中，这种代数分式的无理式，就可按分数运算规则，进行加减、乘除、乘方、开方。 对于分数的运算规则，是众所周知的，就不在话下。
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