sgn在数学函数中代表什么,数学中sgn怎么运算

首页 > 经验 > 作者:YD1662022-11-05 23:20:33

有一类函数的图像看起来像一只蝙蝠,一只倒吊着的蝙蝠,您也可以说它像一个倒吊的吸血鬼。当然,这是为了让大家对它有更深的印象,老黄给它起的一个名字。其实这类函数是最外层带绝对值符号的绝对值函数。

sgn在数学函数中代表什么,数学中sgn怎么运算(1)

例如:求f(x)=|x(x^2-1)|的极值.

这样的函数其实是有两类极值点的。一类是函数本身的零点,因为f(x)>=0,这是绝对值的性质决定的。所以函数的零点必然在某个邻域上是最小值点,因此也是整个函数的极小值点。另一类是绝对值内部的内函数g(x)=x(x^2-1)的极值点。不过极值的性质可能发生变化。千万不要被上面的图像骗了,错误地以为这类极值一定是极大值。其实它有可能是极小值的。

不过有一点可以肯定的是,g(x)的极值,一定也是f(x)=|g(x)|的极值。当g(x)的极值大于0时,则f(x)保持这个极值的性质,极大值仍为极大值,极小值也仍为极小值;当g(x)的极值小于0时,f(x)就会改变这个极值的性质,g(x)的极大值变成f(x)的极小值,而g(x)的极小值就变成了f(x)的极大值。

明确了这些性质,我们再来看看这个问题到底要怎么解决:

第一步,先确定函数的定义域,连续性和可导的性质。虽然这并不一定是必要的,但却是非常有意义的。显然,这里f(x)是R上的连续函数,且仅在零点上存在不可导的可能性。

第二步,求这类函数的零点,有几个零点,就得到几个极小值点。且这些点通常是不可导的。但也未必所有零点都不可导。这是为什么呢?多动动脑筋,对学习大有好处。比如函数y=|x(x-1)^2|在零点x=1上就可导。您可以作出图像来,就可以得到印证,但如果想不明白,就要多看看老黄的图文或视频作品,其中的原理在老黄的作品中,多处地方有过介绍。

第三步,对函数求导。这时您可能会选择把原函数先化成分段函数。其实不一定要这样做,这里只需对g(x)=x^3-x求导,再乘以g(x)的符号性质就可以了。

第四步,得到导函数的零点,这些零点是原函数的稳定点。您可以选择利用极值的第一充分条件,来判断它们是否是极值点,是什么极值点。也可以进行:

第五步,求二阶导数,检验第四步中求得的稳定点。

前两步所求的是f(x)的第一类极值点,后三步求的是f(x)的第二类极值点。接下来组织解题过程:

解:f(x)是R上的连续函数, 【由于不可导点需要下面求得,所以这里没有介绍可导性】

当f(x)=0时, x=0或x=±1.

f’(x)=(3x^2-1)*sgn(x^3-x),【sgn是取符号性质的函数,函数值是1或-1】

f”(x)=6x*sgn(x^3-x) (x≠0, ±1),【不管一阶导数还是二阶导数,都要限定x≠0, ±1】

当f’(x)=0时,x=±根号3 /3,

又f”(根号3 /3)=-2根号<0, f”(-根号3 /3)=-2根号3<0,

∴f有极大值f(根号3/3)=f(-根号/3)=2根号3 /9. 【第二类极值】

又f(x)≥0,∴f有极小值f(0)=f(1)=f(-1)=0. 【第一类极值】

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