哥德巴赫于1742年提出，如今已经270多年，最好的成果是我国数学家陈景润证明的“1 2”，也就是：任一充分大的偶数，都可以写成一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和。
（2）孪生素数猜想
相差2的素数对叫做孪生素数，比如5和7，11和13，该猜想说的是孪生素数有无穷多对。
目前最好的成果，是美籍华人数学家张益唐，在2013年提出一种方法，证明存在无穷多个差小于某个数M的素数对，当时张益唐证明了M=7000万的情况，一旦完成M=2就解决了孪生素数猜想，目前M已经被缩小到了200多。
（3）ABC猜想
该猜想描述了三个互素整数a、b、c（满足a b=c）的素因子之间的关系，是数论中一个非常美妙的猜想，也是一个非常强的数学猜想，一旦ABC猜想被证明，那么证明费马大定理只需要短短五句话。
ABC猜想最新的消息，是2012年日本数学家望月新一宣称完成了证明，他的证明过程足足有500多页，其中有很多他自定义的符号和算法，以至于到现在还没有人能对他的证明给出合理评判。
（4）黎曼猜想
素数拥有无穷多个，但是素数的分布极为不规律，由于素数在整数中的特殊性，数学家对素数始终有着特殊的爱好，也有很多优秀的数学家竭尽一生去研究素数分布规律。
对素数分布规律的第一个突破性进展，是大数学家高斯在1792年（15岁）发现了素数定理，素数定理说的是素数分布与积分函数渐近，但是高斯也无法证明素数定理，使得素数定理成为19世纪最著名的数学难题，直到1896年，素数定理才被其他人证明。
素数定理是素数分布的渐近公式，但是随着数字的增大，素数定理和素数分布的绝对误差将会趋向于无穷，所以素数定理的实用性并不大。
直到1859年，高斯的学生黎曼在一篇论文中，扩展了100多年前欧拉发现的一个公式，然后推导出一个素数分布的准确公式π(x)，该公式是否成立，取决于一个猜想是否正确——黎曼猜想。
