1.若47^100是168位数，问47^17是几位数？
解：因为47^100是168位数，所以
167<=lg47^100=100lg47<168,
1.67<=lg47<1.68,
28.39<=17lg47<28.56.
故lg47^17的首数是28, 47^17是29位数。
2.已知：0.301029<lg2<0.301030,
0.477120<lg3<0.477121,
求：2000^1989的首位数字。
解：为了求大于1的整数T的首位数字b,且b(1<=b<=9),则先确定它的位数n,然后由
b•10^(n-1)<=T<(b 1)•10^(n-1),即
(n-1) lgb<=lgT<(n-1) lg(b 1)定出b的值。
lg2000^1989=1989(3 lg2).又因为
0.301029<lg2<0.301030,所以
6565.746681<lg2000^1989
<6565.748670.
因此，2000^1989是6566位数。又因
0.746681>1-0.301030>1-lg2=lg5,
0.748670<0.301029 0.477120<lg2 lg3
=lg6,所以
6565 lg5<lg2000^1989<6565 lg6.
故此2000^1989的首位数字是5.
3.已知x与y都是正整数，它们的常用对数的尾数之和等于1,(x^2)y的常用对数的首数是3,求：x,y的值。
解：可令lgx=a m, lgy=b n.
由于x,y是正整数，可知首数a,b都是非负整数。尾数m,n满足0<=m<1,0<=n<1,由题意可设m n=1,故此m,n都是正的纯小数，所以
lg[(x^2)y]=2lgx lgy=2a 2m b n
=(2a b 1) m.
因为0<m<1,故此2a b 1是lg[(x^2)y]的首数，因而2a b 1=3,即2a b=2.所以，只能有：a=0,b=2,或a=1,b=0.
当a=0,b=2,由lgxy=a b m n=3,得xy=1000.此时x是一位数，y是三位数，所以有四组解：
第一组：x=2,y=500;第二组：x=4,y=250;第三组：x=5,y=200;第四组：x=8,y=125.
当a=1,b=0,则lgxy=2,xy=100,由于x是二位数，y是一位数，此时有三组解：
第一组：x=20,y=5;第二组：x=25,y=4;
第三组：x=50,y=2.
4.已知lgx,lg100/x的首数分别是a和b,当x取遍所有正数时，3a^2-4b^2的最大值是多少？
解：设lgx=a m,lg100/x=b n(0<=m,n<1)
则a b m n=lgx lg100/x=2,
故此m n是整数.由于0<=m n<2,所以，m n等于0或1.
当m n=0时，则a b=2,于是
3a^2-4b^2=3a^2-4(2-a)^2=-(a-8)^2 48
所以，当a=8时，3a^2-4b^2有最大值48，此时x=10^8.
当m n=1时，则a b=1,于是
3a^2-4b^2=3a^2-4(1-a)^2=-(a-4)^2 12
故此当a=4时，3a^2-4b^2有最大值12,此时10^4<=x<10^5.
综上所述，当x=10^8时，3a^2-4b^2有最大值48.
