今天我向大家介绍一下《几何原本》比较特别的二倍角定理以及如何只用尺规作正五边形。
二倍角定理是《几何原本》第4卷“与圆有关的直线图形的作法”中的第10个命题,在二倍角定量后面的4个命题都是有关正五边形的命题证明,都需要用到二倍角定理。
下面是二倍角定量的证明过程:
命题10:作一个等腰三角形,使它的每个底角是顶角的二倍。证明:
1、任取一条线段AB,在AB上取一点C,使以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以CA为边的正方形面积。(第2卷 命题11)具体详见我的文章。
2、以A为圆心、AB为半径作圆BDE。
3、作圆BDE的拟合线BD,使BD=AC。(第4卷 命题1)
4、连接AD和DC,作三角形ACD的外接圆ACD。(第4卷 命题5)
5、因为以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以CA为边的正方形面积,AC=BD,所以以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以BD为边的正方形面积,于是BD与圆ACD相切。(第3卷 命题37)
6、因为BD与圆相切,DC是过切点D的圆的拟合线,所以角BDC等于相对弓形上的角DAC。(第3卷 命题32)
7、因为角BDC=角DAC,两边同时加上角CDA,所以角BDA=角CDA 角DAC。
8、又因为外角BCD=角CDA 角DAC(第1卷 命题32),所以角BDA=角BCD。
9、又因为AB=AD,所以角BDA=角CBD。(第1卷 命题5)
10、所以角BCD=角CBD,于是DB=DC。(第1卷 命题6)
11、又因为BD=CA,所以DC=CA,所以角CDA=角CAD(第1卷 命题5)
12、所以角CDA与角CAD的和是角DAC的二倍,又角BCD=角CDA 角CAD,于是角BCD是角DAC的二倍。
13、又因为角BCD=角BDA=角DBA,所以角BDA和角DBA都是角DAB的二倍。
14、所以等腰三角形ABD的底边BD上的每个角都是顶角的二倍。
证明完毕。
以下是作图过程:
步骤1:任取一条线段AB,延长BA至a。
步骤2:以A为圆心,AB为半径作圆与Ba相交于b,此时bA=AB。