约数,是小学数学知识,看起来很简单,但它却十分考验大家对数字和乘除法的理解。同时,在解决带约数的问题时,有一些常用的技巧,掌握了它们,问题分分钟解决,但如果不会,可能思考半天也摸不到头绪。
其实,这一类问题无非是在“约数”、“余数”、“倍数”、“总数”几个数量关系下转圈圈,因此我们整理了4道小学#烧脑智力题#,为您讲解关于约数和乘除法的解决问题技巧。
01“约数”问题
2020的约数一共有几个?
约数问题
看起来很简单,但如果不掌握技巧,难道你要从1开始一个一个尝试吗?今天我们学习一个计算约数个数的小技巧:
首先,对数字进行分解质因数,这是计算约数不可缺少的部分,一般情况下我们使用短除法,经过计算2020=2×2×5×101。
接下来就是最关键的步骤了,将所有不同质因数的指数加一再相乘,得到的乘积就是约数的个数,(2 1)×(1 1)×(1 1)=12,因此,2020共有12个约数。
数学是严谨的,我们自然要进行验算,2020的约数分别为1、2、4、5、10、20、101、202、404、505、1010、2020,正好12个。
02“余数”问题
一些自然数除2030,余数都是10,这样的自然数有几个?
余数问题
这是一道“同余问题”,余数是10,也就意味着用2030减去10就可以整除,问题变成了计算可以整除2020的数,似乎和上个问题一样,但是这里的“陷阱”你发现了吗?
思路基本一致,这样的自然数肯定是2020的约数,但因为有余数的存在,除数不能小于等于余数,所以我们要在上一题的基础上排除掉小于等于10的约数,即1、2、4、5、10,因此,这道题的答案是7个。
03“总数”问题
有一筐苹果,两个两个数剩1个,三个三个数剩2个,五个五个数剩4个,六个六个数剩5个,这筐苹果最少多少个?
总数问题
这道题是一个“同步问题”:细心的朋友一定发现,题目中的余数和除数都差1。
基于这个思路,我们给筐里“补”1个苹果,现在苹果总数正好能被2、3、5、6整除,最少的数就是他们的公倍数30,然后再把多加的那个苹果拿走,就算出了正确答案是29个,你算对了吗?
04“倍数”问题
三个连续自然数从小到大依次是4、7、9的倍数,它们中最小的数是多少?
这道题略有难度,设最小的数为x,则x 1能被7整除,x 2能被9整除,换个思路题目就变为x除以4余0,除以7余6,除以9余7,既不同余,也不同补,因此我们就需要对条件进行逐级满足:
第一步,找到除以7余6,且能被4整除的数。可以表示为7a 6(a为自然数),因为6除以4余2,所以只需7a除以4余2即可,a最小取值2,这样的数最小为20,满足此条件的数可以表示为28n 20(n为自然数,28为4和7的最小公倍数)。
第二步,找到28n 20中满足除以9余7的数,因为20除以9余2,所以要求28n除以9余5,当n=1时余数是1,因此n=5时满足条件,符合此条件的最小自然数为28×5 20,即160。
答案就是160。
孙子算经
其实早在中国南北朝时期就出现了关于余数问题的计算,在中国古代数学著作《孙子算经》中,有“物不知数”的世界名题,出现了被称为“孙子定理”的中国剩余定理。
求解此类问题,一般使用“减同余、加同补,余补不同逐级满足”的方法。如此奇妙的算法,你get到了吗?