风控业务背景
在风控中，稳定性压倒一切。原因在于，一套风控模型正式上线运行后往往需要很久（通常一年以上）才会被替换下线。如果模型不稳定，意味着模型不可控，对于业务本身而言就是一种不确定性风险，直接影响决策的合理性。这是不可接受的。
本文将从稳定性的直观理解、群体稳定性指标（Population Stability Index，PSI）的计算逻辑、PSI背后的含义等多维度展开分析。
目录
Part 1. 稳定性的直观理解
Part 2. 群体稳定性指标（Population Stability Index，PSI）的理解
Part 3. 相对熵（KL散度）的理解
Part 4. 相对熵与PSI之间的关系
Part 5. PSI指标的业务应用
Part 6. PSI的计算代码（Python）
Part 1. 稳定性的直观理解
在日常生活中，我们可能会看到每月电表、水表数值的变化。直观理解上的系统稳定，通常是指某项指标波动小（低方差），指标曲线几乎是一条水平的直线。此时，我们就会觉得系统运行正常稳定，很有安全感。
在数学上，我们通常可以用变异系数（Coefficient of Variation，CV）来衡量这种数据波动水平。变异系数越小，代表波动越小，稳定性越好。
变异系数的计算公式为：变异系数 C·V =（ 标准偏差 SD / 平均值Mean ）× 100%
那么，是不是只用用变异系数就可以了呢？方便、直观。——答案是否定的。在机器学习建模时，我们基于假设“历史样本分布等于未来样本分布”。因此，我们通常认为：
模型或变量稳定 <=> 未来样本分布与历史样本分布之间的偏差小。
然而，实际中由于受到客群变化（互金市场用户群体变化快）、数据源采集变化（比如爬虫接口被风控了）等等因素影响，实际样本分布将会发生偏移，就会导致模型不稳定。
Part 2. 群体稳定性指标（Population Stability Index，PSI）的理解
如果你有基础的风控建模经验，想必会很熟悉PSI（Population Stability Index）指标。psi反映了验证样本在各分数段的分布与建模样本分布的稳定性。在建模中，我们常用来筛选特征变量、评估模型稳定性。
那么，PSI的计算逻辑是怎样的呢？很多博客文章都会直接告诉我们，稳定性是有参照的，因此需要有两个分布——实际分布（actual）和预期分布（expected）。其中，在建模时通常以训练样本（In the Sample, INS）作为预期分布，而验证样本通常作为实际分布。验证样本一般包括样本外（Out of Sample，OOS）和跨时间样本（Out of Time，OOT）。
我们从直觉上理解，是不是可以把两个分布重叠放在一起，比较下两个分布的差异有多大？
图 1 - 分数分布差异对比
PSI的计算公式也告诉我们，的确是这样的：
(1)psi=∑i=1n(Ai−Ei)∗ln(Ai/Ei)
PSI = SUM( (实际占比 - 预期占比）* ln(实际占比 / 预期占比) )
大多数同学到了这里，遵循拿来主义，直接应用。但是，大家有没有思考过以下几个问题：
Q1: 为什么要在计算公式中引入对数—— ln(实际占比 / 预期占比)？
Q2: 为什么log的底数是自然常数e，而不是其他常数（比如2）？（信息论中基常常选择为2，因此信息的单位为比特bits；而机器学习中基常选择为自然常数，因此单位常被称为奈特nats）
Q3: 如果只是衡量两个分布的差异，为什么不直接定义成以下公式呢？这个公式含义是把各个分数段里的人群占比差异进行累加放大。
自定义的稳定性指标 = SUM(实际占比 - 预期占比）
让我们先保留这些疑问，回到PSI的计算公式，以图2表格数据为例介绍下计算步骤。
- step1：将变量预期分布（excepted）进行分箱（binning）离散化，统计各个分箱里的样本占比。
注意：
a) 分箱可以是等频、等距或其他方式，分箱方式不同，将导致计算结果略微有差异；
b) 对于连续型变量（特征变量、模型分数等），分箱数需要设置合理，一般设为10或20；对于离散型变量，如果分箱太多可以提前考虑合并小分箱；分箱数太多，可能会导致每个分箱内的样本量太少而失去统计意义；分箱数太少，又会导致计算结果精度降低。 - step2: 按相同分箱区间，对实际分布（actual）统计各分箱内的样本占比。
- step3:计 算各分箱内的A - E和Ln(A / E)，计算index = (实际占比 - 预期占比）* ln(实际占比 / 预期占比) 。
- step4: 将各分箱的index进行求和，即得到最终的PSI。
图 2 - PSI计算表格
在计算得到PSI指标后，这个数字又代表什么业务含义呢？PSI数值越小，两个分布之间的差异就越小，代表越稳定。
图 3 - PSI数值的业务含义
Part 3. 相对熵（KL散度）的理解
相对熵（relative entropy），又被称为Kullback-Leibler散度（Kullback-Leibler divergence）或信息散度（information divergence），是两个概率分布间差异的非对称性度量。
划重点——KL散度不满足对称性。
我们先不考虑相对熵的计算逻辑，先看它的物理含义是什么？
相对熵可以衡量两个随机分布之间的"距离“。
1）当两个随机分布相同时，它们的相对熵为零；当两个随机分布的差别增大时，它们的相对熵也会增大。
2）注意⚠️：相对熵是一个从信息论角度量化距离的指标，与数学概念上的距离有所差异。数学上的距离需要满足：非负性、对称性、同一性、传递性等；而相对熵不满足对称性。
看到这里，是不是感觉和PSI的概念非常相似？
当两个随机分布完全一样时，PSI = 0；反之，差异越大，PSI越大。
直觉告诉我们相对熵和PSI应该存在着某种隐含的关系，真相正在慢慢浮出水面。
我们再来看相对熵的计算公式。在信息理论中，相对熵等价于两个概率分布的信息熵（Shannon entropy）的差值。
(2)KL(P||Q)=−∑x∈XP(x)log1P(x) ∑x∈XP(x)log1Q(x)=∑x∈XP(x)logP(x)Q(x)
其中，P(x)表示数据的真实分布，而Q(x)表示数据的观察分布。上式可以理解为：
概率分布携带着信息，可以用信息熵来衡量。
若用观察分布Q(x)来描述真实分布P(x)，还需要多少额外的信息量？
