射影定理三个结论,射影定理的三个公式推导过程

首页 > 经验 > 作者:YD1662024-03-22 16:50:58

现在的初中课本上并没有射影定理,但是很多老师都会额外讲一下,很多同学都有这样一种感觉:当时明明记住结论了,但是过几天就搞不清楚到底是谁的平方等于谁乘谁了,那怎样才能准确地记住射影定理,再也忘不掉呢?其实只需要一句口诀。

一、射影定理

射影定理三个结论,射影定理的三个公式推导过程(1)

如图,在RT△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,则有如下结论:

①AC²=AD·AB

②BC²=BD·AB

③CD²=AD·BD

这三个结论就叫做射影定理。

二、助记口诀

树平方=影乘积

把AC看作树,光线沿CD方向照射的影子是AD,光线沿CB方向照射的影子是AB;

把BC看作树,光线沿CD方向照射的影子是BD,光线沿CA方向照射的影子是AB;

把CD看作树,光线沿CA方向照射的影子是AD,光线沿CB方向照射的影子是BD.

三、证明

三个结论都可以通过相似来证明,图中的三个三角形都彼此相似,任意两个相似三角形可得出一个结论,共3个结论。

证明:

①∵∠CDA=∠BCA=90°,∠A=∠A

∴△CAD∽△BAC

∴AC/AB=AD/AC

∴AC²=AD·AB.

②∵∠BDC=∠BCA=90°,∠B=∠B

∴△BCD∽△BAC

∴BC/AB=BD/BC

∴BC²=BD·AB

③∵∠ACD ∠BCD=90°,∠CBD ∠BCD=90°

∴∠ACD=∠CBD,又∵∠CDA=∠BDC=90°

∴△CAD∽△BCD

∴CD/BD=AD/CD

∴CD²=AD·BD

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