比例尺怎么画图,运用比例尺画图的步骤

首页 > 教育培训 > 作者:YD1662023-05-21 20:00:24

一、负数

1、负数的由来:

为了表示相反意义的两个量(如盈利亏损、收入支出……),仅有学过的0,1 ,3.4, 5(2)……是远远不够的。所以出现了负数,以盈利为正、亏损为负;以收入为正、支出为负

2、负数:小于0的数叫负数(不包括0),数轴上0左边的数叫做负数。

若一个数小于0,则称它是一个负数。负数有无数个,其中有(负整数,负分数和负小数)

负数的写法:数字前面加负号“—”号,不可以省略.例如:-2,-5.33,-45,-5(2)
3、正数:大于0的数叫正数(不包括0),数轴上0右边的数叫做正数.
若一个数大于0,则称它是一个正数。正数有无数个,其中有(正整数,正分数和正小数) 正数的写法:数字前面可以加正号“ ”号,也可以省略不写。例如: 2,5.33, 45,5(2)

4、 0 既不是正数,也不是负数,它是正、负数的分界限

负数都小于0,正数都大于0,负数都比正数小,正数都比负数大

5、数轴:

负数 0 正数

左边 < 右边

6、比较两数的大小:

①利用数轴: 负数<0<正数 或 左边<右边

②利用正负数含义:正数之间比较大小,数字大的就大,数字小的就小。

负数之间比较大小,数字大的反而小,数字小的反而大.

3(1)>6(1) -3(1)<-6(1)

二、百分数(二)

(一)、折扣和成数

1、折扣:用于商品,现价是原价的百分之几,叫做折扣。通称“打折”。

几折就是十分之几,也就是百分之几十。例如八折=10(8)=80﹪,六折五=10(6.5)=100(65)=65﹪

解决打折的问题,关键是先将打的折数转化为百分数或分数,

然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答

商品现在打八折 :现在的售价是原价的80﹪

商品现在打六折五:现在的售价是原价的65﹪

2、成数:

几成就是十分之几,也就是百分之几十。例如一成=10(1)=10﹪,八成五=10(8.5)=100(85)=80﹪

解决成数的问题,关键是先将成数转化为百分数或分数,

然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答

这次衣服的进价增加一成 :这次衣服的进价比原来的进价增加10﹪

今年小麦的收成是去年的八成五:今年小麦的收成是去年的85﹪

(二)、税率和利率

1、税率

(1)纳税:纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。

(2)纳税的意义:税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。

(3)应纳税额:缴纳的税款叫做应纳税额。

(4)税率:应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

(5)应纳税额的计算方法: 应纳税额=总收入×税率 收入额=应纳税额÷税率

2、利率

(1)存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。

(2)储蓄的意义:人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社,储蓄起来,这样不仅可以支援国家建设,也使得个人用钱更加安全和有计划,还可以增加一些收入。

(3)本金:存入银行的钱叫做本金。

(4)利息:取款时银行多支付的钱叫做利息。

(5)利率:利息与本金的比值叫做利率。

(6)利息的计算公式:利息=本金×利率×时间 利率=利息÷时间÷本金×100%

(7)注意:如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税),则:

税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)

税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税率)

购物策略:

估计费用:根据实际的问题,选择合理的估算策略,进行估算。

购物策略:根据实际需要,对常见的几种优惠策略加以分析和比较,并能够最终选择最为优惠的方案

学后反思:做事情运用策略的好处

三、圆柱和圆锥

(一)、圆柱

1、圆柱的形成:圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。

圆柱也可以由长方形卷曲而得到。(两种方式:1.以长方形的长为底面周长,宽为高;2.以长方形的宽为底面周长,长为高。其中,第一种方式得到的圆柱体体积较大。)

2、圆柱的高是两个底面之间的距离,一个圆柱有无数条高,他们的数值是相等的

3、圆柱的特征:

(1)底面的特征:圆柱的底面是完全相等的两个圆。

(2)侧面的特征:圆柱的侧面是一个曲面。

(3)高的特征 :圆柱有无数条高

4、圆柱的切割:①横切:切面是圆,表面积增加2倍底面积,即S 增 =2πr²

②竖切(过直径):切面是长方形(如果h=2R,切面为正方形),该长方形的长是圆柱的高,宽是圆柱的底面直径,表面积增加两个长方形的面积,即S增=4rh

5、圆柱的侧面展开图:①沿着高展开,展开图形是长方形,如果h=2πr,展开图形为正方形

②不沿着高展开,展开图形是平行四边形或不规则图形

③无论怎么展开都得不到梯形

6、圆柱的相关计算公式:底面积 :S底=πr²

底面周长:C底=πd=2πr

侧面积 :S侧=2πrh

表面积 :S表=2S底 S侧=2πr² 2πrh

体积 :V柱=πr²h

考试常见题型:①已知圆柱的底面积和高, 求圆柱的侧面积,表面积,体积,底面周长

②已知圆柱的底面周长和高,求圆柱的侧面积,表面积,体积,底面积

③已知圆柱的底面周长和体积,求圆柱的侧面积,表面积,高,底面积

④已知圆柱的底面面积和高,求圆柱的侧面积,表面积,体积

⑤已知圆柱的侧面积和高, 求圆柱的底面半径,表面积,体积,底面积

以上几种常见题型的解题方法,通常是求出圆柱的底面半径和高,再根据圆柱的相关计算公式进行计算

无盖水桶的表面积 =侧面积+一个底面积

油桶的表面积 =侧面积+两个底面积

烟囱通风管的表面积=侧面积

只求侧面积:灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒包装

侧面积 一个底面积:玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池

侧面积 两个底面积:油桶、米桶、罐桶类

(二)、圆锥

1、圆柱的形成:圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的

圆锥也可以由扇形卷曲而得到

2、圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离,与圆柱不同,圆锥只有一条高

3、圆锥的特征:

(1)底面的特征:圆锥的底面一个圆。

(2)侧面的特征:圆锥的侧面是一个曲面。

(3)高的特征 :圆锥有一条高。

4、圆柱的切割:①横切:切面是圆

②竖切(过顶点和直径直径):切面是等腰三角形,该等腰三角形的高是圆锥的高,底是圆锥的底面直径,面积增加两个等腰三角形的面积,

即S增=2rh

5、圆锥的相关计算公式:底面积 :S底=πr²

底面周长:C底=πd=2πr

体积 :V锥=3(1)πr²h

考试常见题型:①已知圆锥的底面积和高,求体积,底面周长

②已知圆锥的底面周长和高,求圆锥的体积,底面积

③已知圆锥的底面周长和体积,求圆锥的高,底面积

以上几种常见题型的解题方法,通常是求出圆锥的底面半径和高,再根据圆柱的相关计算公式进行计算

(三)、圆柱和圆锥的关系

1、圆柱与圆锥等底等高,圆柱的体积是圆锥的3倍。

2、圆柱与圆锥等底等体积,圆锥的高是圆柱的3倍。

3、圆柱与圆锥等高等体积,圆锥的底面积(注意:是底面积而不是底面半径)是圆柱的3倍。

4、圆柱与圆锥等底等高 ,体积相差3(2)Sh

题型总结

①直接利用公式:分析清楚求的的是表面积,侧面积、底面积、体积

分析清楚半径变化导致底面周长、侧面积、底面积、体积的变化

分析清楚两个圆柱(或两个圆锥)半径、底面积、底面周长、侧面积、表面积、体积之比

②圆柱与圆锥关系的转换:包括削成最大体积的问题(正方体,长方体与圆柱圆锥之间)

③横截面的问题

④浸水体积问题:(水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积,等于盛水容积的底面积乘以上升的高度)容积是圆柱或长方体,正方体

⑤等体积转换问题:一个圆柱融化后做成圆锥,或圆柱中的溶液倒入圆锥,都是体积不变的 问题,注意不要乘以3(1)

(四)、典型题:

1、一个圆柱的侧面展开是一个正方形,它的高是底面直径的π倍,

即h=C=πd,它的侧面积是S侧=h²

2、圆柱的底面半径扩大2倍,高不变,表面积扩大2倍,体积扩大4倍。

3、圆柱的底面半径扩大2倍,高也扩大2倍,表面积扩大4倍,体积扩大8倍。

4、圆柱的底面半径扩大3倍,高缩小3倍,表面积不变,体积扩大3倍。

5、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之和是48立方厘米,这个圆柱的体积是( )立方厘米,圆锥的体积是( )立方厘米

圆锥和它等底等高的圆柱体积之比是1 :3,圆柱占1份,圆锥占3份,一共4份,题目中说了4份的和一共是48立方厘米。 圆锥占了4份中的1份,圆柱占了4份中的3份

V锥:48÷4=12(立方厘米) 或 48×4(1)=12(立方厘米)

V柱:48÷4=12(立方厘米) 12×3=36(立方厘米) 或 48×4(3)=36(立方厘米)

6、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之差是24立方分米,这个圆柱的体积是( )立方分米,圆锥的体积是( )立方分米。

圆锥和它等底等高的圆柱体积之比是1 :3,圆柱占1份,圆锥占3份,1份和3份相差了2份,题目中说了相差24立方分米,2份就是24立方分米

圆锥占了2份中的1份,圆柱占了2份中的3份

V锥:24÷2=12(立方分米) 或24×2(1)=12(立方分米)

V柱:24÷2=12(立方分米) 12×3=36(立方分米) 或 24×2(3)=36(立方分米)

7、一个圆柱和一个圆锥,体积相等,底面积也相等,圆柱的高是2厘米,圆锥的高是( )厘米。

V柱=V锥 V柱=V锥

S柱底h柱= 3(1)S锥底h锥 S柱底h柱= 3(1)S锥底h锥

h柱= 3(1)h锥 S柱底= 3(1)S锥底

2= 3(1)h锥 4 = 3(1)S锥底

h锥= 2÷3(1) S锥底= 4÷3(1)

h锥=6 S锥底=12

8、一个圆柱和一个圆锥体积相等,高也相等,圆柱的底面积是4平方分米,圆锥的底面积是( )平方分米。

9、一个圆锥和一个圆柱的底面积相等,体积的比是1:6。如果圆锥的高是3.6厘米,圆柱的高是( )厘米,如果圆柱的高是3.6厘米,圆锥的高是( )厘米。

3(1)S锥底h锥 1 3(1)S锥底h锥 1

S柱底h柱 6 S柱底h柱 6

3(1)h锥 1 3(1)h锥 1

h柱 6 h柱 6

h柱×1 = 3(1)×h锥×6 h柱 = 3(1)×h锥×6

h柱 = 3(1)×3.6×6 h柱÷3(1)÷6 = h锥

h柱 = 7.2 3.6÷3(1)÷6 = h锥

10、一个圆柱体,把它的高截短3厘米,它的底面积减少94.2平方厘米,这个圆柱的体积减少了( )立方厘米。πr²

C=S侧÷h r=C÷π÷2 V=πr²h

=94.2÷3 =31.4÷3.14÷2 =3.14×5×3

=31.4(厘米) =5(厘米) =235.5(立方厘米)

四、比例

1、比的意义
(1)两个数相除又叫做两个数的比
(2)“:”是比号,读作“比”。比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
(3)同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。
(4)比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。
(5)比的后项不能是零。
(6)根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。
2、比的基本性质:比的前项和后项同时乘或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。
3、求比值和化简比:求比值的方法:用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。
4、按比例分配:
在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法:首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。
5、比例的意义:表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
6、比例的基本性质:在比例里,两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。

7、比和比例的区别

(1)比表示两个量相除的关系,它有两项(即前、后项);比例表示两个比相等的式子,它有四项(即两个内项和两个外项)。

(2)比有基本性质,它是化简比的依据;比例也有基本性质,它是解比例的依据。
8、成正比例的量:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。用字母表示x(y)=k(一定)
9、成反比例的量:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k(一定)

10、判断两种量成正比例还是成反比例的方法:

关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定,如果商一定,就成正比例;如果积一定,就成反比例。

11、比例尺:一幅图的图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。

12、比例尺的分类

(1)数值比例尺和线段比例尺 (2)缩小比例尺和放大比例尺

13、图上距离:实际距离=比例尺 或 实际距离(图上距离)=比例尺

实际距离×比例尺=图上距离 图上距离÷比例尺=实际距离

14、应用比例尺画图的步骤:

(1)写出图的名称、 (2)确定比例尺;

(3)根据比例尺求出图上距离;(4)画图(画出单位长度)

(5)标出实际距离,写清地点名称(6)标出比例尺

15、图形的放大与缩小:形状相同,大小不同。

16、用比例解决问题:

根据问题中的不变量找出两种相关联的量,并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系,并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。

17、常见的数量关系式:(成正比例或成反比例)

单价×数量=总价 单产量×数量=总产量 速度×时间=路程 工效×工作时间=工作总量

单价(总价)=数量 单产量(总产量)=数量 速度(路程)=时间 工作效率(工作总量)=工作时间

数量(总价)=单价 数量(总产量)=单产量 时间(路程)=速度 工作时间(工作总量)=工作效率

18、已知图上距离和实际距离可以求比例尺。已知比例尺和图上距离可以求实际距离。已知比例尺和实际距离可以求图上距离。计算时图距和实距单位必须统一。

19、播种的总公顷数一定,每天播种的公顷数和要用的天数是不是成反比例?

答:每天播种的公顷数×天数=播种的总公顷数

已知播种的总公顷数一定,就是每天播种的公顷数和要用的天数的积是一定的,所以每天播种的公顷数和要用的天数成反比例。

20、判断下面各题的两个量是不是成比例,如果成比例,成什么比例?

(1)订阅《中国少年报》的份数和钱数。

因为 订阅《中国少年报》的份数(钱数)= 每份的钱数(一定)

所以,订阅《中国少年报》的份数和钱数成正比例。

(2)三角形的底一定,它的面积和高。

因为 高(三角形的面积)=2(1)(一定)

所以,它的面积和高成正比例。

(3)图上距离一定,实际距离和比例尺。

因为,实际距离×比例尺=图上距离(一定)

所以,实际距离和比例尺成反比例。

(4)一条绳子的长度一定,剪去的部分和剩下的部分。

因为,剪去的部分和剩下的部分不存在比值或积一定的关系,

所以,剪去的部分和剩下的部分不成比例。

(5)圆的面积和它的半径不成正比例,因为圆的面积和它的半径的比值不一定,所以圆的面积和它的半径不成正比例

自行车里的数学:

前齿轮转数×前齿轮齿数=后齿轮转数×后齿轮齿数

蹬一圈走的路程=车轮周长×(蹬一圈,后轮转动的圈数)

蹬一圈走的路程=车轮周长×(前齿轮齿数:后齿轮齿数)

48:28≈1.71 48:24=2 48:20=2.4 48:18≈2.67 48:16=3 48:14≈3.43

40:28≈1.43 40:24≈1.67 40:20=2 40:18≈2.22 40:16=2.5 40:14≈2.86

前、后齿轮齿数相差大的,比值就大,这种组合走的就远,因而车速快,但骑车人较费力

前、后齿轮齿数相差小的,比值就小,这种组合走的就近,因而车速慢,但骑车人较省力

自行车跑的快慢与两个条件有关:1、前后齿轮齿数的比值。2、车轮的大小(合理)

五、 数学广角—鸽巢问题

1、鸽巣原理是一个重要而又基本的组合原理, 在解决数学问题时有非常重要的作用

①什么是鸽巣原理, 先从一个简单的例子入手, 把3个苹果放在2个盒子里, 共有四种不同的放法, 如下表

放法

盒子1

盒子2

1

3

0

2

2

1

3

1

2

4

0

3

无论哪一种放法, 都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果”。 这个结论是在“任意放法”的情况下, 得出的一个“必然结果”。

类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子

如果有6封信, 任意投入5个信箱里, 那么一定有一个信箱至少有2封信

我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体,把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式

②利用公式进行解题: 物体个数÷鸽巣个数=商……余数

至少个数=商 1

2、摸2个同色球计算方法。

①要保证摸出两个同色的球,摸出的球的数量至少要比颜色数多1。

物体数=颜色数×(至少数-1)+1

②极端思想: 用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球,再无论摸出一个什么颜色的球,都能保证一定有两个球是同色的。

③公式: 两种颜色:2+1=3(个)

三种颜色:3+1=4(个)

四种颜色:4+1=5(个)

常见乘法计算(敏感数字) :25×4=100 125×8=1000

加法交换律简算例子 加法结合律简算例子 乘法交换律简算例子 乘法结合律简算例子

0.875 3(2) 8(1) 3(2) 4(1) 0.8 0.4×33×2(5) 23×0.375×3(16)

=8(7) 3(2) 8(1) =3(2) 4(1) 5(4) =5(2)×33×2(5) =23×8(3)×3(16)

=8(7) 8(1) 3(2) =3(2) (4(1) 5(4)) =5(2)×5(2)×33 =23 ×(8(3)×3(16))

=1 3(2) =3(2) 1 =1×3 =23×2

含加法交换律与结合律 含乘法交换律与结合律 数字换减法式 数字换加法式

0.875 3(2) 8(1) 3(1) 0.375×7(29)×3(16)×29(7) 35×36(5) 101×10(9)

=8(7) 3(2) 8(1) 3(1) =8(3)×7(29)×3(16)×29(7) = (36-1) ×36(5) = (100 1) ×10(9)

=8(7) 8(1) 3(2) 3(1) =8(3)×3(16)×7(29)×29(7) =36×36(5)-1×36(5) =100×10(9) 1×10(9)

= (8(7) 8(1)) (3(2) 3(1)) = (8(3)×3(16))×(7(29)×29(7)) =5-36(5) =1 10(9)

=1 1 =2×1

乘法分配律提取式 乘法分配律提取式 乘法分配律(添项) 乘法分配律(添项)

101×0.9-10(9)×1 95.5÷1.6-15.5÷1.6 101×0.9-10(9) 52×8(5) 29×8(5)-0.625

=101×10(9)-10(9)×1 =(95.5-15.5)÷1.6 =101×10(9)-10(9) =52×8(5) 29×8(5)-8(5)

=101×10(9)-1×10(9) =80÷1.6 =101×10(9)-1×10(9) =52×8(5) 29×8(5)-1×8(5)

=(101-1) ×10(9) =800÷16 =(101-1) ×10(9) =(52 29-1)×8(5)

=100×10(9) =100×10(9) =80×8(5)

减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 数字换乘法式

18-8(5)-0.375 14(3)-16(7)-0.75 125(2)-(16(7) 0.4) 0.56×125

=18-8(5)-8(3) =14(3)-16(7)-4(3) =125(2)-(16(7) 5(2)) =0.7×0.8×125

=18-(8(5) 8(3)) =14(3)-4(3)-16(7) =125(2)-5(2)-16(7) =0.7×(0.8×125)

=18-1 =1-16(7) =12-16(7) =0.7×100

除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 数字换乘法式

3200÷2.5÷0.4 2700÷2.5÷2.7 5900÷(2.5×5.9) 33333×33333

=3200÷(2.5×0.4) =2700÷2.7÷2.5 =5900÷5.9÷2.5 =11111×3×33333

=3200÷1 =1000÷2.5 =1000÷2.5 =11111×99999

同级运算中,第一个数不能动,后面的数可以带着符号搬家 =11111×(100000-1)

13(2) 16(7)-3(2) 250÷0.8×0.4 13(2)-16(7) 3(1) 29×0.25÷0.29

=13(2)-3(2) 16(7) =250×0.4÷0.8 =13(2) 3(1)-16(7) =29÷0.29×0.25

=1 16(7) =100÷0.8 =2-16(7) =100×0.25

解方程方法一:消项(如果消+3,方程两边就同时-3 ;如果消×3,方程两边就同时÷3)

1:把方程里的“括号”全部去掉,两种去括号的方法任选其一

2:如果两边都有 几 , 要先消去其中一边的 几

(如果有“-几”,就把“-几”消去,如果没有“-几”,就把较小的消去掉)

3:消去 “-几”, 消去“÷”

4:把这边的数字全部消掉,先消“ -” 再消“÷” 最后消“×”

(注意:无论解到哪一步,数字 几 都要写成 几 数字)

解方程方法二:移项(+3移到另一边就变成-3,×3移到另一边就变成÷3)

1:把方程里的“括号”全部去掉,两种去括号的方法任选其一

2:如果两边都有 几 ,就把其中一边的 几 移到另一边

(如果有“-几”,就把“-几”移到另一边。如果没有“-几”,就把较小的移到另一边)

3:把“-几”移到另一边,把 “÷”移到另一边”

4:把这边的数字全部移到另一边,先移“ -” 再移“÷” 最后移“×”

(注意:无论解到哪一步,数字 几 都要写成 几 数字)

长度单位换算 km m dm cm mm

1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米

面积单位换算 km² m² dm² cm² mm²

1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米

体(容)积单位换算 L mL m³ dm³ cm³

1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1升=1000毫升

1立方米=1000升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升

质量单位换算 t kɡ ɡ

1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤

人民币单位换算

1元=10角 1角=10分 1元=100分

时间单位换算 h min s

1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天)的有:4\6\9\11月

平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天

1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒

- × ÷ = ( ) ² ³ πr²

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