根据划分的的方式，这个级数的值是0或1。它是发散的：部分和在0和1之间交替，直到无穷。它不是趋向一个单一的值
所以我们只能以这种方式分解一个收敛级数。而且，级数必须是绝对收敛的。绝对收敛意味着即使我们取每个项的绝对值，级数也会收敛。如果我们用一个发散级数来尝试，最终就会出现非常严重的问题。
我们假设调和级数收敛。因为每个项都是正的，所以假设意味着绝对收敛。我们可以继续
由上可知，偶数级数与奇数级数的和相等：
接下来，我们逐项比较偶级数和奇级数：
每一项都大于它下面的一项。奇级数大于偶级数。
这两个级数既相等又不相等。出现矛盾。因此，调和级数收敛的前提是错误的。这个系列是发散的。
此外，每增加一项，部分和就增加一项。我们不仅知道级数是发散的，我们还知道它会无限地变大。
下一个：一个更直观的方法，需要一点点微积分知识
在下面的插图中，级数的每一项都对应于矩形的面积。每个矩形都在曲线上方一点点。因此，x = 1右侧曲线下的面积必须小于级数的和
