用绝对值的几何意义解题
我们先做（1）填空题。
①小题依次填空：3，3，4。
②小题依次填空：|x 1|，1和－3。
③小题要搞懂题目的几何意义：x是一个动点，A点代表数－1，B点代表数2，求x到A，B两点的距离之和取最小值时，x的取值范围。第二个空格要求填入最小值，最后一个空格问的是动点x到－2，－4和1这三个点的距离之和的最小值。
读懂题目就好做了。第一个空格填
－1≤x≤2
第二个空格填入最小值3
第三个空格填入最小值5
题目没有问x的取值范围，如果问了，就这样回答：当x=－2时，原式取最小值。
我们来做（2）计算题。
先搞懂题目的几何意义。题目问的是动点x到1，2，3...2021这共计2021个点的距离之和的最小值是多少？
因为定点的数量是奇数，所以当x与这2021个点的中点重合时，所求的距离之和取最小值。
中点在哪里呢？当然是（2021 1）÷2=1011的那个点。
只需计算1011到1～1010的距离之和，得数乘以2就是所要求的答案。
也就是等差数列1，2，3，...，1010求和再乘以2。
套公式计算：
S=1010×（1 1010）÷2
=510555
2S=510555×2
=1021110
答：原式的最小值是1021110。
读了开场故事，我们明白了这类问题有“奇中偶范”的结论。当定点数量是奇数时，动点位于正中点，距离总和取最小值；当定点数量是偶数时，动点在中间两点的区间内，距离总和取最小值。
证明在最后一个章节给出。
最值问题例1请看下图：
例2请看下图：
例2也可以用绝对值的代数意义来解答。原式的两个绝对值的零点分别是1和2，用零点分段法把数轴分为3段，分类讨论：
当x≥2时，原式=x-1-(x-2)=x-1-x 2=1，
（最大值）
当1<x<2时，原式=x-1-(2-x)=x-1-2 x
=2x-3；
当x≤1时，原式=1-x-(2-x)=1-x-2 x=-1
（最小值）
绝对值的应用例3 武汉百步亭小区交警每天骑摩托车沿南北街来回巡逻，早餐从A地出发，晚上最后到达B地，假定向北为正方向，当天巡逻记录如下：（单位：Km）
14，－9，18，－7，13，－6，10，－6，问：
（1）B地在A地什么位置？
（2）若摩托车每千米耗油0.1升，则一共需耗油多少升？
解答：第一问可以把题目数据直接相加，
14-9 18-7 13-6 10-6=27
答案是正数，所以B地在A地正北27千米。
第二问不能把数据直接相加，因为距离不能为负，所以利用绝对值的非负性，把数据的绝对值相加：
|14| |-9| |18| |-7| |13| |-6| |10| |-6|=83
83×0.1=8.3
答：共耗油8.3升。
例4．三台生产同一种产品的机器 M₁、M₂、M₃在 x 轴上的位置如图所示．M₁、
M₂、M₃生产该产品的效率之比为 2：1：3，它们生产的产品都需要沿着 x 轴运
送到检验台检验，而移动所需费用与移动的距离成正比．问检验台应该设在 x轴上的何处，才能使移动产品所花费的费用最省？
解：设检验台应该设在 x 轴上的 P 处，P 点表示的数为 x，
根据题意得到移动的距离总和 S=1×|x 2| 2×|x-1| 3×|x-3|
=|x 2| 2|x-1| 3|x-3|，
当 x≤-2 时，S=-x-2-2x 2-3x 9=-6x 9，此时 x=-2 时，S 的值最小为 21；
当-2＜x＜1 时，S=x 2-2x 2-3x 9=-4x 13，S 没有最小值；
当 1≤x≤3 时，S=x 2 2x-2-3x 9=9，此时 S 的值不变，等于 9；
当 x＞3 时，S=x 2 2x-2 3x-9=6x-9，此时 S 没有最小值．
因为移动所需费用与移动的距离成正比，而 1≤x≤3 时，移动的距离总和最小，
所以检验台应该设在 x 轴上的 M₁与 M₃之间（包括 M₁与 M₃），才能使移动产品所花费的费用最省．
例4 不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果
|a-b| |b-c|=|a-c|，那么B点应为( )
(1)在AC点的右边；(2)在A，C点的左边；
(3)在A，C点之间
(4)以上三种情况都有可能
解：|a-b| |b-c|=|a-c|的几何意义：数轴上表示a、b、c三个数的点之间的距离关系，a到b的距离，即b到a的距离与到c的距离的和等于a与c之间的距离，因而点B在A，C之间，选(3).
例5 已知|x-1| |x-5|=4，求x的取值范围。
解:设定点A，B在数轴上对应的数分别是1和5，动点P对应的数是x，因为
AB=|1-5|=4，所以点P在线段AB上，即x的取值范围是1≤x≤5.
也可以用绝对值的代数意义来解：
当x<1时，|x-1| |x-5|=1-x 5-x=6-2x>4；
当1≤x≤5时，|x-1| |x-5|=x-1 5-x=4；
当x>5时，|x-1| |x-5|=x-1 x-5=2x-6>4；
综上所述，x的取值范围是1≤x≤5.
85．已知|x-3| |x 2|的最小值是 a，|x 3|-|x 2|的最大值是 b，求 a b 的值．
解：把|x-3|看成是数轴上点 x 到 3 的距离，|x 2|看成是数轴上点 x 到-2 的距离，所求的值就是表示数 x 的点到-2、3 的距离的和，最小值显然是-2 到 3 的距离为 5，故 a=5
同理，|x-3|-|x 2|则可以看成数轴上表示数 x 的点到 3 与-2 的距离的差，最大值就是 3 与-2 之间的距离，也是 5，从而 b=5，
故 a b=10．
绝对值方程和不等式95．阅读下列材料，回答问题：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数 x 对应的点与原点的距离，即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数 x 与数 0 对应的点之间的距离；这个结论可以推广
为|x₁-x₂|表示在数轴上数 x₁与数 x₂对应的点之间的距离；
例 1．解方程|x|=2．因为在数轴上到原点的距离为 2 的点对应的数为±2，所以
方程|x|=2 的解为 x=±2．
