第一单元
观察物体
1.长方体（或正方体）放在桌子上，从不同角度观察，一次最多能看到 3 个面（或
说成：最多同时能看到 3 个面）。
2.给出一个（或两个）方向观察的图形无法确定立体图形的形状。 由三个方向
观察到的图形就可以确定立体图形的形状并还原立体图形。（个别特殊情况无法
确定）
3.从一个方向看到的图形摆立体图形，有多种摆法。
4.从多个角度观察立体图形
先根据平面图分析出要拼搭的立体图形有几层；
然后确定要拼搭的立体图形有几排；
最后根据平面图形确定每层和每排的小正方体的个数。
第二单元
因数与倍数
1.像 0，1，2，3，4，5，6，…这样的数是自然数。
2.在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除
数是被除数的因数。例如，12÷2=6，我们就说 12 是 2 的倍数，2 是 12 的因数。
12÷6=2，所以 12 是 6 的倍数，6 是 12 的因数。
3.倍数和因数是相互依存的，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。不能单独说
谁是因数，谁是倍数；倍数，因数只在非 0 自然数中讨论，此时要排除开小数、
分数等。
因为 1.4×0.2＝0.28,0.2 是 0.28 的因数,这种说法是错误的.
如果 3×7＝21,此时，3 和 7 是因数，21 是倍数。这种说法是错误的.
4.一个数的因数个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。例
如：10 的因数有 1、2、5、10，其中最小的因数是 1，最大的因数是 10。
5.一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3 的倍数有：3、6、
9、12……其中最小的倍数是 3 ，一个数没有最大的倍数。
6.任意一个非 0 自然数的因数都小于等于它本身，一个数的倍数都大于等于它本
身。
一个数的最小倍数= 这个数的最大因数=这个数。
7.1 是任意自然数（
0 除外）的因数，也是任一自然数（
0 除外）的最小因数。
一个自然数的因数如果只有一个，这个数就是 1，除开 1 以外的任何非 0 自然数
至少有两个因数。
8.2 的倍数的特征：个位上是 0，2，4，6，8 的数是 2 的倍数。2 的倍数都能被
2 整除。
9.5 的倍数的特征:个位上是 0 或 5 的数是 5 的倍数。5 的倍数都能被 5 整除。
10.偶数和奇数的定义:2 的倍数的数叫偶数，0 也是偶数。不是 2 的倍数的数叫
奇数。
个位上是 0,2,4,6,8 的数是偶数，个位上是 1,3,5,7,9 的数是奇数。
11.同时是 2 和 5 的倍数的特征：个位上是 0 的数既是 2 的倍数，也是 5 的倍数。
12.一个数各个数位上数字的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。3 的倍数都
能被 3 整除
13.同时是 2 和 3 的倍数的特征：
个位上的数是 0，2，4，6，8，并且各个数位上的数字的和是 3 的倍数的数，
既是 2 的倍数，又是 3 的倍数。
14.同时是 3 和 5 的倍数的特征：个位上的数是 0 或 5，并且各个数位上的数字的和是 3 的倍数的数，既是 3
的倍数，又是 5 的倍数。
15.同时是 2，3 和 5 的倍数的特征：
个位上的数是 0，并且各个数位上的数字的和是 3 的倍数的数，既是 2 和 5
的倍数，又是 3 的倍数。
16.一个数只有 1 和它本身两个因数，这个数叫作质数（也叫素数），质数有且仅
有两个因数。有且仅有两个因数的数是质数。
17.一个数除了 1 和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数（合数至少有三
个因数）。至少有三个因数的数是合数。
18.1 只有唯一一个因数，所以 1 既不是质数也不是合数。0 也既不是质数也不是
合数。
19.最小的质数是 2，它是质数中唯一的偶数，把 2 叫偶质数。
其余的质数都是奇数（
3、5、7、11、13…）；
最小的合数是 4，100 以内最大的质数是 97。最小的自然数是 0。最小的偶
数是 0。最小的奇数是 1。
非 0 自然数按照因数的个数多少，可以分为【1、质数、合数】
所有自然数按是否是 2 的倍数，可以分为【奇数、偶数】
20. 判断一个数是质数还是合数的方法：
一般来说，首先可以用“2，5，3 的倍数的特征”判断这个数是否有因数 2，
3，5；如果还无法判断，则可以用 7，11 等比较小的质数去试除，看有没有因数
7，11 等。只要找到一个 1 和它本身以外的因数，就能肯定这个数是合数。如果
除了 1 和它本身找不到其他因数，这个数就是质数。
21.通过计算发现奇数、偶数相加奇偶性变化的规律：
偶数 偶数=偶数
奇数 奇数=偶数
偶数 奇数=奇数
偶数- 偶数=偶数
奇数-奇数=偶数
偶数-奇数=奇数
小技巧：只把个位数字相加（减），即可判断结果是奇数还是偶数。
22.通过计算发现奇数、偶数相乘奇偶性变化的规律：
偶数×偶数=偶数
奇数×奇数=奇数
偶数×奇数=偶数
小技巧：只把个位数字相乘，即可判断结果是奇数还是偶数。
第三单元 长方体和正方体
1.长方体：长方体是由6个长方形（特殊情况是有2个相对的面是正方形）围成的立体图形。
注意：一个长方体，如果有2个面是正方形，那么其余的4个面是完全相同的长方形。
2.正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。
3.长方体和正方体的特点：
①都有8个顶点、6个面、12条棱；
②长方形相对面的面积相等，正方形的6个面的面积都相等；
③长方体的棱长分长、宽、高3组，且每组的长度相等，正方体的所有棱长都相等。（长方体和正方体相对棱的棱长相等）
4.正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。正方体是特殊的长方体。正方体也叫立方体。
5.长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4
正方体的棱长总和＝棱长×12
注意：解决长方体（或正方体）类型棱长和问题时，要根据实际情况确定求哪几条棱长的和。
6.长方体（或正方体）六个面的面积总和叫做长方体（或正方体）的表面积。
长方体的表面积=（长×宽 长×高 宽×高）×2
正方体的表面积＝棱长×棱长×6
注意：解决长方体（或正方体）类型表面积问题时，要根据实际情况确定求哪几个面的面积。
7. 物体所占空间的大小，叫做物体的体积。
8. a3读作：a的立方，表示3个a相乘。 a3=a×a×a
9.常用的体积单位有立方厘米（cm3），立方分米（dm3）和立方米（m3）。
长方体的体积=长×宽×高 V=abh
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 V=a3
长方体（或正方体）的体积＝底面积×高＝横截面积×长 V=Sh
10.在工程上，1立方米简称1方。
11.1个长方体或正方体，如果所有的棱长都扩大n倍，那么棱长总和也扩大n倍，表面积扩大n×n倍，体积扩大n×n×n倍。
12.棱长总和相等的长方体或正方体，正方体的体积最大。
13. 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3
14.每相邻两个长度单位间的进率是10；每相邻两个面积单位之间的进率是100；每相邻两个体积单位之间的进率是1000
15.容器所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。计量容积，一般就用体积单位。
16.计量液体的体积，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和mL。
17.1L相当于1dm3，1mL相当于1cm3，所以1L＝1000mL
1L=1dm3 1mL=1cm3 1L=1000mL
18.长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但注意是要从容器里面量长、宽、高。
19.计算不规则物体的体积的常用方法：排水法
被浸没物体的体积=上升那部分水的体积
计算方法：① 容器的底面积×上升那部分水的高度
② 放入物体后的体积—原来水的体积
20.正方体涂色规律：（棱长1cm的小正方体拼大正方体）
当大正方体的棱长为n（n不小于2）厘米的时候，三面涂色的有8块，两面涂色的有12（n-2）块，一面涂色的有6（n-2）2块，没有涂色的有（n-2）3块。
第四单元知识点
1.分数的意义
把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或者几份可以用分数表示。
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分得的总份数；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
2.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
3.分数的分类：
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。
带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
4. 约分和通分
①两个数公有的因数，叫做它们的公因数，其中最大的公因数，叫做它们的最大公因数。
②把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。（约分一般约成最简分数）
③分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。（公因数只有1的两个数，叫做互质数）
④两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。
⑤把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。（通分时常用两个分母的最小公倍数作公分母）
5. 比较分数的大小
①分母相同的分数，分子大的分数大；
②分子相同的分数，分母小的分数大；
③分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。
6. 分数与小数的互化
①小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。例：10.233是三位小数，就在1后面写三个0，也就是1000作分母，原来小数去掉小数点是10233作分子，写成分数后约分成最简分数。（一位小数化成十分之几，两位小数化成百分之几…）
②分数化成小数：用分子除以分母。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留二位小数。例：½ 化成小数，用分子1除以分母2，写成1÷2=0.5.
常见的 =0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4 =0.6 =0.8
=0.125 =0.375 =0.625 =0.875 =0.05 =0.04。
7.一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
说明：一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数的意思是分母中要么只含有因数２,要么只含有因数5，或既含有因数２,还含有因数５.
约分和通分 约分的方法：用分子和分母的公因数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
8.约分的方法：先求出分子和分母的最大公因数，然后再用分子和分母同时除以这个最大公因数，就约分成了最简分数。
9.通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
10.分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
11.分数与除法的关系
①被除数÷除数= 被除数 / 除数
②因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。
③被除数相当于分子，除数相当于分母。
12. 最大公因数：
①如果两个数互质，这两个数的最大公因数是1。
②如果两个数成倍数关系，这两个数的最大公因数是两个数中的较小数。
③两个数既不互质也不成倍数关系，可以用短除法求最大公因数。
13. 最小公倍数
①如果两个数互质，这两个数的最小公倍数是它们的乘积。
②如果两个数成倍数关系，这两个数的最小公倍数是两个数中的较大数。
③两个数既不互质也不成倍数关系，可以用短除法求最小公倍数。
五、物体的运动
1.平移 物体或图形平移后本身的形状、大小和方向都不会改变。
2.轴对称
（1）轴对称图形： 把一个图形沿着某一条直线对折，两边能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
（2）轴对称图形的特征和性质： ①对应点到对称轴的距离相等；②对应点的连线与对称轴垂直； ③对称轴两边的图形大小、形状完全相同。
3. 旋转
（1）物体旋转时应抓住三点：① 旋转中心； ② 旋转方向； ③ 旋转角度。
（2）旋转只改变物体的位置（旋转中心位置不会变），不改变物体的形状、大小。
六、分数四则运算
1. 分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数的运算。
2. 分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。
3. 同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
4. 异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
5. 带分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
6.整数加法运算定律同样适用于分数加法。
七、折线统计图
条形统计图特点：能直观的看到数据的多少。
折现统计图特点：不仅能看到数据的多少，还能看出数据的变化情况。
折线图的画法：描点、连线、标数据。
八、数学广角（找次品）
优化策略：一是把待测物品分成三份； 二是要分得尽量平均。 （如余1则放入到最后一份中；如余2则分别放入到前两份中），保证找出次品而且称的次数一定最少。
数目与测试的次数的关系：（前提是已知次品是重还是轻）
2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次
4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次 ；
10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次
28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次
82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次
特别提醒：若不知道次品是重还是轻，测得次数比以上规律多一次。
