用短除法求最大公因数和公倍数,短除法求最大公因数全过程

两个正整数a,b的最大公约数为p，记作：(a,b)=p；最小公倍数为q，记作：[a,b]=q.

例1.求24和30的最大公约数及最小公倍数。

解：对于比较简单的数，可以直接观察出它们的公因数，适合用短除法：

1） 先用24和30的公因数2分别去除两个数24,30，得商12和15；

2） 再用12和15的公因数3分别去除12,15，得商4和5；

3） 4和5已经没有比1大的公因数了，短除法结束。

因为两个公因数2和3 之积为：2*3=6，所以24和30的最大公约数为：(24,30)=6。

又因为所有公因数以及最后的商之积为：2*3*4*5=120，

所以24和30的最小公倍数为：[24,30] =120。

例2.求221和493的最大公约数及最小公倍数。

解：对于不易观察出公因数的数，可以用辗转相除法：

1. 用较大的数除以较小的数并求出余数得：493/221=2，余数为51；
2. 把上面的除数作为被除数，余数作为除数，再求余数得：221/51=4，余数为17；
3. 再把上面的除数作为被除数，余数作为除数，求余数得：51/17=3，余数为0.

当余数为0时，倒数第二个余数就是这两个数的最大公约数。所以，221和493的最大公约数为：(221,493)=17。

又因为两个数a,b的最大公约数p与最小公倍数q之积pq，等于这两个数之积ab。所以q=(ab)/p.

所以，221余493的最小公倍数为：[221,493]=221*493/17=6409.

用C语言编程如下：

//求两个数a,b的最大公约数p及最小公倍数q

#include <stdio.h>

int main () //注：两个数的最大公约数与最小公倍数之积=这两个数的乘积，即pq=ab，所以q=ab/p

{ int gys(int,int); //函数原型：求最大公约数

int a,b,p;

printf("请输入两个整数:a b（两数用空格隔开）："); scanf("%d %d",&a,&b);

p=gys(a,b);//调用函数求a,b的最大公约数P

printf("(%d,%d)=%d，",a,b,p); //输出最大公约数

printf("[%d,%d]=%d",a,b,a*b/p); //输出最小公倍数(因pq=ab,所以q=ab/p)

}

//求最大公约数函数：

int gys(int x,int y) //函数首部行 ,这里x,y为形式参数

{ int r=1;//使r不为0

while(r!=0) //辗转相除：

{ r=x%y;//求余

x=y;y=r;//辗转

}

return (x); //返回最大公约数x

}