当然，关于不确定性原理，这里只顺便提一嘴。现在我们只要知道测量x方向的自旋不仅会让银原子处于x方向本征态，也会影响z方向自旋，让银原子在z方向上从自旋向上本征态变成叠加态就行了。
这样，第三组斯特恩-盖拉赫实验就可以完全走通了：银原子通过第一个z方向磁场后变成了z方向自旋本征态，向上偏转的银原子通过x方向磁场后变成了x方向自旋本征态。与此同时，由于z方向和x方向的自旋不对易，它们无法同时处于本征态。所以，当银原子处于x方向自旋本征态的同时，在z方向就会从自旋向上本征态变成叠加态。
于是，处于z方向自旋叠加态的银原子通过第二个z方向磁场后自然就分裂了，这就是最后的那个惊天大分裂，就是那个让经典力学百思不得其解的分裂。
至此，斯特恩-盖拉赫实验就全部走通了。
11量子力学
可以看到，为了解释斯特恩-盖拉赫实验，我们引入了许多全新的假设。我们假设银原子可以处于自旋向上和自旋向下的叠加态，假设测量会影响系统的状态，假设如果两个力学量不对易，测量一个力学量会影响另一个的情况……
这些假设已经完全超出了经典力学的范畴，但顺着斯特恩-盖拉赫实验，你又会发现非如此不可。物理学家其实是很保守的，但凡经典物理修修补补还能用，大家也不至于掀桌子，量子力学是被逼出来的。
有了这些全新的假设，我们就能定性地分析斯特恩-盖拉赫实验了。但是，光有定性的分析还不够，我们还要用数学语言定量地描述它们。
比如，你说银原子可以处于自旋向上和自旋向下的叠加态，那如何描述这种状态？系统处于叠加态还是本征态，测量自旋的结果会完全不同，那自旋这种力学量要如何描述？系统状态发生了变化，又要如何描述？等等。
我们知道，系统处于不同的状态，测量力学量会有不同的结果：处于本征态，测量结果是确定的；处于叠加态，测量结果不确定。如果系统状态发生了变化，各个力学量的测量结果也会随之发生变化。
在这样的语境下，系统状态就处在了一个非常核心的位置。所以，我们要先描述系统状态，那么，如何描述系统的状态呢？老办法，想知道量子力学里的情况，我们就先去经典力学看看。在经典力学里，我们是如何描述系统状态的呢？
假设有两个苹果，一个在北京，一个在武汉，我们会觉得它们的状态不一样，因为位置不同。当然，就算它们的位置一样，但如果一个静止，另一个却在运动，我们还是会觉得它们的状态不一样，除非它们的位置和速度都相同。
也就是说，在经典力学里，我们可以用物体的位置和速度（或动量）这样的力学量来描述系统的状态。
如果两个质点的位置和动量（速度）都一样，它们在时空中的状态就被唯一确定了。在和牛顿力学等价的哈密顿力学里，我们会以位置和动量为横、纵轴构建一个叫相空间的东西，相空间里的一个点（有个确定的位置和动量）就代表了一个运动状态。
与此同时，由于位置和动量都可以直接观测，我们又用这些可观测量来描述系统状态，那系统状态和可观测量之间就没啥区别了。另外，在经典力学里，无论系统处于什么状态，测量结果都是确定的，所以，测量结果和可观测量之间也没啥区别了。
于是，在经典力学里，系统状态、可观测量和观测结果就都没啥区别了，都可以用位置和动量来描述。你想确定一个粒子的状态，确定它的位置和动量就好了；粒子的可观测量也是位置、动量；最后的观测结果，无非就是把位置和动量的值读出来。
但是，量子力学里的观测结果却是跟系统状态有关的，系统处于本征态还是叠加态，观测结果会很不一样。自旋、位置这样的可观测量跟系统状态也不是一回事。这样的话，你再想用位置和动量打发它们三个就不可能了。
那么，到了量子力学，我们要如何描述系统的状态呢？
12系统状态
能否还像经典力学那样，直接用可观测量来描述系统状态？比如，银原子的自旋可以取向上和向下，那我们就用S=0表示自旋向上的状态，用S=1表示自旋向下的状态，用这样的变量S来描述系统状态行不行？
不行！
如果银原子只处于本征态，我们确实可以用S=0描述自旋向上本征态，用S=1描述自旋向下本征态。但是，如果银原子处于叠加态呢？
有人说，那我用S=0.5描述银原子处于自旋向上和向下的叠加态，用S=0.7表示测量时有更大概率自旋向下，用S=0.3表示有更大概率自旋向上，行不行呢？
在这个特例里是可行的，但它无法推广。我们这里是碰巧自旋只能取S=0、S=1这样的分立值，如果现在讨论的不是自旋，而是位置呢？银原子的位置x本身就可以连续取值，x=0.3也只能表示某个位置本征态，那你要如何表示位置的叠加态？
所以，想用一个变量S描述银原子的自旋状态是不行的，变量不够用。不够用怎么办？简单，一个不够用那就再加一个呗，反正又不费电。
比如，我们可以用S0表示自旋向上本征态，用S1表示自旋向下本征态，如果银原子处于叠加态，我们就把它们加起来，用S=S0 S1描述叠加态不就行了么？
如果想改变叠加的权重，调节S0、S1前面的系数就行了。比如，我们可以用S=0.6S0 0.8S1表示测量时有（0.6）²=0.36的概率自旋向上，有（0.8）²=0.64的概率自旋向下（为什么是平方大家后面会明白）。
这样，不管力学量是取分立值（自旋）还是连续值（位置），我们都能描述叠加态了。你取几个值，我就弄几个变量，你处于什么样的叠加态，我就相应调节变量前的系数，再把它们加起来就完了。
而且，当你把银原子的叠加态写成S=S0 S1这样时，如果S0前面的系数为0，那就是S=0×S0 S1=S1，这不就是自旋向下的本征态么？同理，让S1的系数为0也可以表示自旋向上的本征态。这样，叠加态和本征态就都可以用S=S0 S1的形式来描述，调节S0、S1的系数就可以表示不同权重的叠加态，本征态就可以看成一种特殊的（除它以外系数都为0）叠加态。
所以，用S=S0 S1描述银原子的自旋状态是一个不错的选择。
那么，当我们把系统状态写成S=S0 S1的时候，我们这是整了一个啥玩意出来了呢？有没有觉得有点眼熟？如果不够眼熟，那我把S0换成x，把S1换成y，这样S就可以写成S=x y，这样总眼熟了吧？
没错，这就是一个矢量啊！
你看，如果我们把S0和S1看成横坐标和纵坐标，那它们就构成了一个平面，S=S0 S1就代表这个二维平面里的一个矢量。因为S0、S1的系数都是1，所以S=S0 S1就代表了从坐标原点(0,0)到(1,1)的一个矢量，记作S=(1,1)。
也就是说，如果我们想在量子力学里描述系统的状态，用一个数是不行的，得用一个矢量。这个用来描述系统状态的矢量，就被称为态矢量。
态矢量确定了，每个基矢的系数（坐标）就确定了，我们就能知道银原子是处于本征态还是叠加态，知道测量时有多大概率自旋向上，多大概率自旋向下。虽然不知道结果到底是自旋向上还是向下，但概率知道了，我们还能算出它的平均值。
也就是说，态矢量确定了，虽然自旋的具体取值不确定，但它的平均值却是确定的。我们正是在这个意义上说态矢量完全描述了系统的状态，这跟经典力学完全不一样。
但大家也清楚，自旋是粒子的内禀性质，就像质量、电荷一样，跟粒子在时空中的位置、速度无关。所以，当我们只考虑自旋时，粒子的自旋态空间其实是一种内部空间。如果我们不考虑自旋，而是考虑粒子在外部时空中的运动情况，那就要看它的位置和动量了。
银原子的自旋可以取两个值，我们用S=S0 S1表示它的状态，这是一个二维的态矢量，对应的自旋态空间是一个二维空间。而位置可以取无穷多个值，我们就要用S=S0 S1 S2 ……表示它的状态，这是一个无穷维的态矢量，对应的态空间一个无穷维空间。
如果你既想描述粒子的自旋，又想描述它在外部时空的情况，那就得把这两个态空间“加”起来，在数学上就是对它们做一个张量积。
由此可见，大家常见的矢量都在二维、三维欧式空间里，而态矢量却可以在无穷维空间。另外，量子力学里的态矢量不再局限于实数，而把范围扩大到了复数。这部分数学内容我不打算多讲，大家只要知道态矢量所在的空间并不是欧式空间，而是一个范围更大的空间就行了。这个空间，我们称之为希尔伯特空间，态矢量是希尔伯特空间中的矢量。
也就是说，在量子力学里，我们用希尔伯特空间中的矢量描述系统状态，这是我们第一个非常重要的结论。
13力学量
知道如何描述系统状是一个巨大的进步，但这里有个问题：描述系统状态的是希尔伯特空间中的矢量，而它是无法直接观测的。你想想，态矢量是二维、三维、N维，甚至无穷维空间中的一个矢量，你能直接观测么？
不能！
在经典力学里，我们用位置和动量描述系统的状态，而位置和动量本身就可以直接观测。到了量子力学，描述系统状态的是希尔伯特空间中的态矢量，而它无法直接观测，可以直接观测的是自旋、位置、动量这些力学量。
所以，如果你的理论不想跟实际脱节，那就得想办法描述这些力学量。我们用态矢量描述系统状态，那自旋、位置、动量这些力学量要如何描述呢？
我们知道，测量自旋的结果跟系统状态有关：银原子处于本征态，测量结果是对应的本征值；银原子处于叠加态，测量结果就有可能是自旋向上，也有可能自旋向下。如果态矢量确定了，每个基矢前面的系数（坐标）就确定了。系数确定了，测量时是各个结果的概率也就确定了。
如果概率分布确定了，力学量的平均值也就确定了。而平均值，是可以直接观测的，这一点很重要。
也就是说，虽然态矢量无法直接观测，力学量在一般情况下也没有确定值。但是，如果态矢量确定了，力学量的平均值就确定了。态矢量无法直接观测，但力学量的平均值可以直接观测啊，我们可以从这里入手。
由于自旋没有经典对应，不方便理解，我们来看看大家更熟悉的位置。
假设电子只能处于x=1和x=2两个位置，跟自旋类似，如果电子处于位置叠加态，测量位置时就有一定概率发现电子处于x=1处，有一定概率发现电子处于x=2处。如果两种概率都是50%，那位置的平均值就是x=1×0.5 2×0.5=1.5；如果处于x=1的概率是70%，处于x=2的概率是30%，那位置的平均值就是x=1×0.7 2×0.3=1.3。
可见，态矢量确定后，概率分布也就确定了，虽然每个电子的位置依然不确定（可能在x=1，也可能在x=2），但位置的平均值却确定了（两个态矢量分别对应x=1.5和x=1.3）。
这里要说明一下，经典力学里测量平均值的方法，通常是测一次记下一个数，再测一次，再记下一个数，最后求平均。但在量子力学里却不能这么干，因为量子力学里的测量会改变系统的状态。
电子处于某个叠加态，你测一下位置，它就会变成某个位置本征态，你再去测量这个处于位置本征态的电子，测量结果就会一直是这个本征值，这显然就不对了。
所以，如果你想测量处于叠加态电子的位置平均值，就得提前准备许多和它状态完全相同的电子，然后分别测量每一个电子的位置。测量一个就记一个位置（注意，每个电子只测一次），然后测下一个电子，最后对所有的位置求平均，这样才能测出这个状态下的位置平均值。
于是，我们就清楚了：如果系统状态确定了，虽然力学量不一定有确定值，但力学量的平均值却一定是确定的。而平均值又可以直接观测，这样，我们就在系统状态和可观测量之间架起了一座桥梁。
在量子力学里，系统状态是用希尔伯特空间中的矢量来描述的。现在我们想求这个状态下的力学量平均值，就必然要对这个矢量进行一些操作，让它产生一个实数（平均值）。那么，能对矢量进行操作、变换的东西是什么呢？
是算符！
算符可以作用在一个矢量上，把它变成另一个矢量。比如，我们把一个矢量平移到另一个地方，完成这个操作的就叫平移算符；把一个矢量旋转一下变成另一个矢量，就叫旋转算符；把一个矢量投影到某个坐标轴，就叫投影算符。
