也就是说，如果我们测出了电子在某个状态的位置平均值，现在你要用算符对描述这个状态的态矢量进行一番操作，让态矢量“吐”一个实数出来（当然，算符直接作用在矢量上只能得到另一个矢量，想得到一个数还得借助它的对偶矢量，这里我们不细说），并且让这个实数就等于我们测量得到的位置平均值。
这样的话，看起来就是有一个算符作用在态矢量上，经过一番操作后得到了位置的平均值。在这个意义上，我们说这个算符描述了位置这个力学量，叫它一声位置算符不为过吧？
在数学上，算符可以用矩阵来表示，一个矢量跟一个矩阵相乘，其结果还可以是一个矢量，这就相当于对矢量进行了一个变换。在各种变换里，有一种变换很特殊：它对某个矢量进行变换的结果，就好像是把原矢量拉长或缩短了一定倍数。
当然，矩阵的这种变换只对一些特殊的矢量成立，我们把这些特殊矢量叫做这个矩阵的本征矢量（特征矢量），这个拉长或缩短的倍数就叫本征值（特征值）。
名字都取成这样了，相信大家不难看出它跟量子力学的关系。在量子力学里，我们用矢量描述系统状态，用算符描述力学量。而算符又可以用矩阵来描述，于是，对算符A来说，也可以出现当它作用在某个态矢量|Ψ>上时，就好像把这个态矢量|Ψ>拉长了a倍。
写成方程就是：A|Ψ>=a|Ψ>，这就叫算符A的本征方程，|Ψ>是本征态，a就是对应的本征值。
需要注意的是，这个方程左边的A是一个算符，用矩阵来描述，右边的a是一个数。所以，你可千万别把方程左右两边的|Ψ>给约去了，然后得到A=a（很多初学者容易闹这样的笑话）。
于是，数学和物理就对上了：我们用矢量描述系统状态，用算符描述力学量。算符可以写成矩阵的形式，而矩阵有对应的本征矢量和本征值，它们就对应了本征态以及测量力学量时可能出现的结果。
这样的话，你想知道力学量可以取哪些值，解对应算符A的本征方程A|Ψ>=a|Ψ>就行了。你想知道力学量在某个状态下的平均值是多少，用算符A作用在对应的态矢量上，经过一些操作也能算出来。
而且，不同算符之间一般不能交换次序，也就是我们前面说的不对易，这是量子力学非常重要的一个特点。
这样，只要知道了算符的情况，就能知道对应力学量的情况。于是，我们就得到了第二个极为重要的结论：在量子力学里，我们用算符描述力学量，而且不同算符之间一般不能交换次序。
由于力学量和测量密切相关，因此，第三个极为重要的结论是关于测量的：我们测量一个力学量，测量结果只可能是对应力学量算符的本征值之一。
这个结论几乎不用作过多说明，因为我们一直就是这么*。我们早就知道测量银原子的自旋会让系统从叠加态变成某个本征态，测量结果就是对应的本征值。现在，我们只不过是知道了，原来这些本征态和本征值是跟一个算符对应起来的。
在斯特恩-盖拉赫实验里，自旋对应的算符是泡利矩阵，解泡利矩阵的本征方程就能得到两个本征矢量和两个本征值，分别对应自旋向上和自旋向下。去测量银原子的自旋，结果也只能是泡利矩阵的两个本征值之一。
当然，由于测量结果必须是实数，这对算符会有一定的要求（必须是厄米算符），具体概率也都可以算，这些就不细说了。
这样，力学量问题就圆满解决了。
14静态的图像
此时，如果这里有个电子，我们就能知道如何描述电子的状态，知道如何描述它的力学量，也知道力学量可以取哪些值，对应的概率是多少，平均值又是多少，我们知道了电子此刻的一切。
如果你是一位画师，你可以把电子此刻的物理图像画下来，但是，也仅仅是画下此刻的一帧图像。因为你并不知道电子在下一刻的状态，于是就不知道下一刻的概率分布，不知道下一刻的力学量平均值，也就没法画出下一刻的物理图像。
所以，我们现在描绘的是一幅静态的量子图像，它不能动。如果我们想让静态的量子图像动起来，想描绘运动变化的量子世界，就得知道系统下一刻会处于什么状态。
也就是说，我们必须知道系统状态是如何随时间变化的，知道如何根据系统此刻的状态求出它下一刻的状态，这就是量子动力学的问题。
那么，如何找出系统状态随时间的变化规律呢？能从上面的结论推出来么？不能，因为我们现在只知道要用矢量描述系统状态，并不知道它如何随时间变化。
还是老规矩，想知道量子力学里的情况，我们先去经典力学里看看。
在牛顿力学里，知道了物体的位置和速度，就知道了物体的状态。如果你还想知道物体下一刻的状态，也就是想知道物体下一刻的位置和速度，要怎么做呢？
很简单，学过中学物理的朋友都清楚（不清楚的可以先看看《》）：想知道物体在下一刻的位置和速度，就得先找到物体受到的合外力F，然后利用牛顿第二定律F=ma算出物体的加速度a。有了加速度，我们就能根据物体此刻的速度算出它下一刻的速度，进而求出下一刻的位置。于是，我们就知道了物体在下一刻的状态。
也就是说，我们之所以能求出物体下一刻的状态，关键就在于牛顿第二定律F=ma。正是因为有了F=ma，我们才能根据物体此刻的位置和速度求出它下一刻的位置和速度，才能知道系统的状态会如何随时间变化，才能描绘出物体的运动图像。
同理，如果我们想让量子图像也动起来，想知道量子力学里的系统状态如何随时间变化，我们也要找一个类似牛顿第二定律F=ma这样的方程。
那牛顿第二定律是怎么来的？它是从牛顿力学的其它结论推出来的么？
当然不是！每个理论都有一些最基本的假设，它们是这个体系里最底层的东西，是推不出来的（当然，如果以后发现了更深刻的理论，有了更基本的假设，能从那里把这些假设推出来，那就是另外一回事了），它们的正确性只能由实验来保证。很显然，牛顿第二定律F=ma就是牛顿力学的一个基本假设。
同样的，量子力学里描述系统状态随时间变化的方程也应该是一个基本假设，它也没法从量子力学的其它结论里推出来，它的正确性也只能由实验来保证。
1925年，在白雪皑皑的阿尔卑斯山，在各种新思想的刺激下，在一位神秘女子的陪伴下，有个人得到了这个描述系统状态随时间变化的方程，得到了这个相当于牛顿力学里F=ma的方程，这就是大名鼎鼎的薛定谔方程。写出这个方程的大佬，自然就是薛定谔。
15薛定谔的工作
相信大家都听过薛定谔方程，各种科普书也会提到它。但是，大部分人都只知道薛定谔方程很重要，却不知道它为什么重要，也不知道它到底在讲什么。
现在大家心里有数了：薛定谔方程是描述系统状态随时间变化的，它能让静态的量子图像动起来，就像牛顿力学里的F=ma一样，重要性不言而喻。
那么，薛定谔方程是如何描述系统状态随时间的变化的呢？
我们知道系统状态用态矢量来描述的（第一个结论），我们采用狄拉克的记号，把态矢量记作|Ψ>。这样，你想知道系统状态如何随时间变化，就是想知道态矢量|Ψ>在不同时间t会取什么样的值，这就是一个关于时间t的函数，我们记作|Ψ(t)>。
t取不同的时间，|Ψ(t)>就会有不同的取值，这不就是态矢量|Ψ>随时间变化的规律么？所以，薛定谔方程想描述系统状态随时间的变化，就是要说明|Ψ(t)>应该遵守什么样的规律。那么，它会遵守什么样的规律呢？
由于薛定谔方程是量子力学的基本假设，无法从其它结论里推出来，那就只能靠“猜”了。当然，这不是乱猜，而是要基于事实分析，利用缜密的逻辑和合理的想象提出一些假设，然后用实验来验证。
薛定谔当年主要是看到了“光学和力学之间的相似性”，进而把光学的一些结论推广到了力学，最终得到了薛定谔方程。
他是怎么做的呢？
首先，薛定谔注意到几何光学是波动光学的短波长极限。这个好理解，当光的波长越来越短时，光波看起来就越来越像光线，波动光学自然就慢慢趋近于几何光学。
然后，薛定谔注意到，作为几何光学基本方程的程函方程跟分析力学里的哈密顿-雅克比方程非常相似。于是，薛定谔就想：如果几何光学是波动光学的短波长极限，那么，跟几何光学相似的分析力学会不会也是某种波动力学的极限？
也就是说，有没有可能说我们现在的力学只是“几何力学”，它只是某种波动力学的极限（就像几何光学只是波动光学的极限那样）？并且，这种波动力学里某个方程的短波长极限，刚好就是“几何力学”里的哈密顿-雅克比方程？
答案我们都知道，这种波动力学就是量子力学，薛定谔方程的短波长极限就是哈密顿-雅克比方程。
当然，这不是什么巧合，并不是说薛定谔无意中发现了一个方程，然后这个方程的极限刚好就是哈密顿-雅克比方程。而是反过来：薛定谔就是要找一个极限是哈密顿-雅克比方程的东西，然后才找到了薛定谔方程，而这种波动的力学就是量子力学。
按理说，这种想法是非常自然的。物理学家只要注意到了程函方程与哈密顿-雅克比方程的相似性，知道几何光学和波动光学的关系，考虑是否存在一种波动力学就是很自然的一件事。那么，为什么直到薛定谔才开始认真考虑这个事呢？
其实，哈密顿本人就注意到了光学和力学之间的这种相似性，因此也有人说哈密顿距离发现薛定谔方程只差临门一脚。
