原创： 唐乃迁 算法与数学之美
e是一个重要的常数，但是我一直不知道，它的真正含义是什么。
它不像π。大家都知道，π代表了圆的周长与直径之比3.14159，可是如果我问你，e代表了什么。你能回答吗？
维基百科说：
"e是自然对数的底数。"
但是，你去看"自然对数"，得到的解释却是：
"自然对数是以e为底的对数函数，e是一个无理数，约等于2.718281828。"
这就构成了循环定义，完全没有说e是什么。数学家选择这样一个无理数作为底数，还号称这种对数很"自然"，这难道不是很奇怪的事情吗？
原因很简单，因为e和自然数0,1,2……一样自然。
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可以说，数学整个学科都是人为创造出来，被用来了解自然和了解人类本身的。
由于人类有可数的十根手指，于是我们用了十进制。不过如果有一个外星人有四根手指呢？他们是不是就使用四进制呢？
如果外星人是有无法数清的触手的触手怪呢？
所以数学的很多分支都是为了了解人类本身被研究的，它不自然。
自然的事物中，其中的一种是世界上正在发生的一切。
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为了研究世界上正在发生的一切，人类在数学之外又创造了物理、化学、生物等等学科，它们被称作“自然科学”。显然在这些课本中，数字到底是十进制还是四进制并无大碍，人类正在脱离了解人类本身这一范畴，开始了解世界。
人类对世界的最深层次的疑惑，在诞生之日就一直是是：
在下一个时刻会发生什么？
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这一疑惑贯穿了人类的全部历史，在此不深入研究。
不过，此时人类发现：
尽管自己能够对一些东西做出改变，但是对另一些东西却无能为力。
如果你推一个东西，这个东西就会动。如果愚公愿意，他可以和他的子子孙孙无数代一起把太行山和王屋山搬走。
但是愚公会死，他的子子孙孙都会死。
时间，事物的变化，或许真的如同某些神谕一样，是上天安排的。
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在人类对这两种变化感到深深地迷茫的时候，人类的数学却在纠结着十进制和四进制的事情，把毕达哥拉斯以后的近两千年的时间让位给了宗教。
然而人类不可能彻底把对自然的理解交给神。数学将以一种最新的形态回到我们对自然的理解中。
跟着新的数学而来的，还有物理，化学，生物等等自然科学。
是的，不管你如何讨厌它，没有它，或许现在的世界依然没有走出教会的中世纪，我们对世界的了解，依然是所谓的神谕。
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了解世界的过程中，我们倾向于研究可测量的量。
然而在神学统治世界的两千年中，变化的特别要素，时间，只能以日晷上的小时来测量。
或许是哪位在封建主的领地里放羊的小孩，在路过潺潺的山泉的时候的发现吧。
那些一滴一滴，时间间隔相同的缓缓滴落的水滴，敲响了万能神的丧钟吧。
人类通过这些水滴，意识到：
身边一直正在发生的 所谓变化，是可以测量的。
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铅球从比萨斜塔的五楼落下，用了六滴水的时间。
而从二楼落下，也要用三滴水的时间。
这是人类对那一种“自己能够掌握”的变化的初步研究。
也正是在这一次研究中，人类知道了：
我们身边的一切事物的特征，除以无时无刻不在流逝的时间，不就是他们的变化吗。
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在自然数、几何之后，数学跑偏两千年之久。
而在这个我们开始把时间称作“滴答滴答地流逝”的文艺复兴的时代，自然数学盛装归来。
和很多人的认识不同，这门新的数学是比代数自然得多的学科。
因为它研究的，就是两千年来被神掌握的“变化的规律”。
这一自然规律，由于时间的测量技术变得可测量。
也正是这门科学，打破了人类对自然认识的最后一道，也是最难被逾越的一道障碍。
相信不用我说，大家都知道，所谓自然数学有一个更响亮的名字，叫做微积分。
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人们知道，时间是无时无刻不在流逝的，相应的变化也无时无刻不在发生。
对于变化的研究，先从最容易测量的物体的位置开始。
因为我们已经通过对变化的理解，定义了速度和加速度。
就在水滴旁的男孩将铅球一次又一次从比萨斜塔上扔下去的时候，他惊讶地找到了一个不变量：
地球给铁球的加速度。
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后来，人们发现了所有的位置变化速度的变化，都是人类可以通过自己的力量施加给自然的东西。
此时，人类对自己能够改变的未来，已经有了初步的理解。
不过人类并不甘心，因为为什么还有不可掌握的未来存在？
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一杯热水什么时候冷掉？
大火什么时候熄灭？
植物什么时候长成？
动物什么时候繁衍？
很多问题，人类最多只能改变进程，不能改变结果。
后来，人们发现：
热水自然会冷掉。
大火自然会熄灭。
植物自然会长成。
动物自然会繁衍。
这里的“自然”，
就是自然本身赋予事物的有关变化属性。
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力，称为人类改变外界的媒介的东西，是事物随着外界环境变化的一种属性。
我们可以表示为：
A物体速度的变化=外界的力
而外界的力和A物体速度无关。
然而热水的冷却不一样。
经过测量，我们发现：
热水冷却的速度只和热水与环境的温度差正比例相关。
于是我们得到了：
热水温度的变化=确定数量×（热水温度-环境温度）
这是自然本身赋予热水的变化属性。
与外界无关。
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于是通过上面热水的例子，我们把自然本身赋予事物的有关变化属性抽象一下，总能得到一个等式。
那就是：
A的变化=A本身的某种性质
当然，最简单的情况当然是：
A的变化=A的数量×确定数量。
为了研究这个简单的问题，人类又把目光放在了自然界。
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这时自然研究者已经分成了两队，一队前往大自然寻求这个问题答案，只因为他们知道：
自然界很多生物的性质，决定了他们的生活、习性，当然包括了变化。
一堆前往实验室寻求这个问题的答案，只因为他们已经在实验室中找到了几个符合这个问题描述的变化。
我们叫第一种人生物学家，第二种人物理学家。
不过，他们的目标是一样的。
那是因为，他们都知道：
热水自然会冷掉。
大火自然会熄灭。
植物自然会长成。
动物自然会繁衍
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怀着对自然的敬畏，他们上路了。
我们先讲生物学家的故事，因为他们很久以前就发现了一些规律。
一对兔子一年生一窝，一年10对兔子存活，t年后一共有多少兔子？
这是一个连小学五年级的学生都会得算数，答案是10的t次方。生物学家在看到
A的变化=A的数量×确定数量
的时候，一下就想到了这个题目。
可以看到，t这个数字，在计算的结果中跑到了10的指数的位置上。
一声叹息。生物学家知道，这个老掉牙的题目在几千年前，人类就已经知道答案了。
如果人类在当时就有所思考，也就没有所谓的黑暗的中世纪了吧。
但是生物学家知道这并不是问题的答案。
因为，兔子的数量是每年变化一次的，而自然，则要求时间无时无刻不在流逝。
思忖良久，生物学家将“指数”两个字记在本子上，开始寻找更多的证据。
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此时物理学家正在对着自己误差巨大的数据发愁。
尽管已经能精确地测出距离和时间，但对于温度的测量还是一筹莫展。
虽然知道最终的正确数值是一条弧线，但他还要用已知的变化关系去和这一关系对照。
如果能够得到热水冷却的这一条弧线，一切的问题都能迎刃而解吧。
此时，物理学家脑中蹦出一种想法。
推动冷却的会不会是一种力呢？
可不可以用变化率、变化率的变化率等等来表示呢？
即使它不是一种变化率的叠加，那可不可以用这种变化率来近似呢？
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生物学家找到了更多比兔子繁衍更快的物种。
蘑菇、酵母、细菌……
到了最后，甚至找到了几秒就能分裂一次的病毒。
他的笔记中，底数在不断地改变，但是t在指数的位置却没有改变。
有一天，在睡梦中，他突然梦见了什么。
他猛然惊醒，打开床头柜，开始计算了起来。
A病毒的性质如果是1分秒钟分裂成2倍，那它5秒钟分裂成多少倍？
1秒钟呢？
那么它到底具有怎样的分裂性质呢？
算到最后，他列出了一个算式。
如果它有1分钟分裂成2倍的性质，
那么当它分裂成1.10倍的时候，过1分钟应该分裂成2.20倍。
分裂成1.20倍的时候，过1分钟又应该分裂成2.40倍。
所以最后的结果，和2倍肯定会有很大的偏差。
经过计算之后，生物学家困意已消，他抹去了头上的汗水。
天空泛起了鱼肚白，而这个世界已然没有睡意。
他的草稿本的最后一行是：
自然的底数：limx→ ∞ (1 1/x)^x
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物理学家研制了越来越精确的仪器和设备。
他知道，所谓推动上一层的“力”，也就是变化率是常数罢了，而表现在公式中，则是要多乘上一个时间和时间的系数。
最终的结果，自然是一堆有关时间t的幂的集合。
有一次物理学家突发奇想，于是控制变量之后，物理学家把确定数量值变为了1，把环境变为了0度。也就是说现在热水温度的变化率变成了它自己。他坚信这样可以更方便地测出真正的规律。
此时物理学家突然意识到了什么。
我们都知道，如果位置变化是t的2次方，那么它的变化率也就是速度就是2t，变化率的变化率就是2。
那么如果位置变化是t的7次方呢？
那位置的7重变化率就是1×2×3×4×5×6×7。
那么由于这一变化由无数的“变化率的变化率”组成，显然这些“力的推动力”的变化率，是“被这些力推动的力”的整数倍。
而又由于热水温度的变化率是它自己，所以每个力都和被它推动的力有确定的倍数关系！
物理学家飞速地列出了最终唯一的关系式，并且当他做完实验的时候，结果竟然和关系式完全符合！
他笑了，因为他的努力终究有了成果。
他的之上留下了一行算式：
自然公式取1的值T(1)=1 1 1/2 1/(2×3) 1/(2×3×4) 1/(2×3×4×5)……
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物理学家和生物学家相聚了。
“我已经找到将不可掌握的未来，用自然的公式表达出来了。”
“我也是。”
“自然的公式是指数。”
“不，自然的公式是幂的和。”
物理学家的黑板上写着Σx=0 ∞(t^x)/x!
而生物学家的黑板上则写着limx→ ∞ (1 1/x)^xt
两人相视而笑。
是的，自然的公式只有一个，两个公式事实上完全等同。
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给它命个名吧，
“我建议用e^x，因为这是一个显然的指数函数。”生物学家说。
“听我说，我建议用exp(x)，来表示它的自然和连续性。”物理学家说。
两人离开，留下了两块被拼在一起的黑板。
物理学家那边，写着：
exp(1)=Σx=0 ∞1/x!≈2.71828
生物学家那边，写着：
e=limx→ ∞ (1 1/x)^x≈2.71828
而拼起来的黑板，则组成了：
dy/dx=y的方程。
20 尾声
人类终于迈出了认识未知自然的一步。
从此，即便是自然本身的规律，也已经被人类了然于心。
我们不需要再担心一些不可能发生的事，从而把我们的能力使用在正确的地方。
尽管上文的物理学家和生物学家都是杜撰的人物，不过还是希望读者能够通过e这个数值的推断过程来体会一下e到底是什么，以及它在科学中的作用。
