图3 埃舍尔的“上下阶梯”名画和他的镶嵌图案示例
埃舍尔的“上下阶梯”设计是受到彭罗斯楼梯（Penrose stairs，图4左上图）和彭罗斯三角（Penrose triangle，图4左下图）的影响完成的，是彭罗斯楼梯的艺术表现。彭罗斯父子留下了“彭罗斯密铺”（Penrose tiling），包括彭罗斯楼梯和彭罗斯三角为特殊情形，而后者最早是由瑞士图形艺术家奥斯卡·路透斯瓦（Oscar Reutersvärd，1915–2002）在1937年画出的。
罗杰·彭罗斯还构造了一些非周期（aperiodic）镶嵌图案（例如，图4中上图）。作为对比，另一类镶嵌图案是通过周期（periodic）重复过程产生的（例如，图4中下图）。彭罗斯三角和彭罗斯楼梯与“莫比乌斯带”（Möbius strip，图4右上图）和“不可能三叉戟”（impossible trident，图4右下图）等拓扑及幻觉视图密切相关，但这里就不扯远了。值得一提的是，镶嵌技术只是数学物理学家罗杰·彭罗斯的业余喜好，他在2020年89岁高龄时因“使用巧妙的数学方法证明了黑洞是爱因斯坦广义相对论的直接结果”而荣获诺贝尔物理学奖。
图4 （左）彭罗斯楼梯与三角;（中）非周期与周期镶嵌;（右）莫比乌斯带与不可能三叉戟
平面镶嵌中任何一种形状的基本瓷砖都称为一个“原型块”（prototile）。就使用的原型块数量而言，只用一种原型块的镶嵌称为单面体密铺（monohedral tiling）。这种类型的瓷砖由单一形状组成，也称为单瓷砖（monotile）。因为它的德文是ein Stein，大家戏称之为 einstein（“爱因斯坦”）。周期性单面体密铺是很容易的，例如可使用正三角形、正方形或正六边形的原型块。至于五边形，目前知道的仅有15 种原型块，如图5所示。
图5 目前知道的15种五边形周期密铺
至于非周期性单面体密铺，那就困难得多了。罗杰·彭罗斯第一个指出，用两种不同的菱形就能实现非周期性密铺（图6，左图）。多年以后，到了2023年5月，一个由英国、加拿大和美国的计算机科学家和数学家组成的研究小组（David Smith, Joseph S. Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Strauss）宣称：他们找到了只用一种13边形单面体原型块便可完成的非周期性密铺（图6，右图）。
图6 非周期密铺：彭罗斯用2种菱形; David Smith小组用1种13边形
一种特别复杂别致的单面体密铺类型是螺旋单面体密铺（spiral monohedral tiling），在1936 年由德国数学家海因茨·沃德伯格（Heinz Voderberg，1911–1945）发现，如图7所示。很快，它就被推广到双面体密铺（dihedral tiling）、三面体密铺（trihedral tiling）、四面体密铺（tetrahedral tiling）以至n-面体密铺（n-hedral tiling）。不过，我们这里就不进一步介绍那些繁杂的高维镶嵌问题了。
