一致连续的定义是高数中比较难理解的概念之一。
关于一致连续性，最容易被普遍接受的是闭区间上的连续函数具有一致连性性的性质。这是在有限闭区间上的一致连续性问题。那么连续函数是否在无限区间上也一致连续呢？显然，那是不一定的。下面是一个在无限区间上一致连续的函数实例，你能运用一致连续的定义证明吗？
证明：f(x)=sinx/x在(0, ∞)上一致连续.
证：∵lim(x→ ∞)f(x)=0，【这是无穷小量和有界量的积，仍是一个无穷小量】
由柯西收敛准则知，对∀ε>0，存在M1>0，使当x’,x”>M1时，有|f(x’)-f(x”)|<ε.【这里其实已经说明了函数在(M1, ∞)上一致连续】
又lim(x→0 )f(x)=0,同理有M2>0,使0<x’,x”<M2时,有|f(x’)-f(x”)|<ε.【这里证明了函数在(0,M2上一致连续)】
将(0, ∞)分成(0,M2],[M2/2,M1 M2/2]和[M1, ∞).【这一步是关键，上面已经证明了函数在(0,M2)和(M1, ∞)g分别一致连续，如果只证明函数在[M2,M1]上一直连续是不够，而且，虽然就起来有点不合便，但M2还真不一定小于M1。不过如果M2大于M1，问题也就解决了，只是高数这东西，很多用语言描述起来特别不方便。因此，这里是通过取闭区间[M2/2,M1 M2/2]，来使三个连续区间之间存在交集的。然后利用交集与两边的区间一致连续，从而证明函数在整个区间上都一致连续，但数学语言却不能这样描述，正确的方式如下：】
∵f在[M2/2,M1 M2/2]连续，∴f在[M2/2,M1 M2/2]一致连续.【这就是连续函数在闭区间上的一致连续性】
从而必存在δ>0(δ<M2/2),当x’,x”∈[M2/2,M1 M2/2]【规定δ<M2/2，以使x’,x”必属于上面分割得到的三个区间的同一区间】
且|x’-x”|<δ时，有|f(x’)-f(x”)|<ε.
于是对一切x’,x”∈(0, ∞)，当|x’-x”|<δ时，
x’,x”必属于上述区间之一，且都有|f(x’)-f(x”)|<ε，
∴f在(0, ∞)上一致连续.
从证明过程，我们还可以得到一个结论，连续函数两端都收敛，或者说极限都存在是一致连续的充分条件，不管是在有限区间上，还是无限区间上，你觉得老黄这么说对吗？
